Логические операции над высказываниями - Построение алгебры высказываний - Краткий теоретический справочник

Логическая операция — это способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Во избежание неодинаковой трактовки смысла каждой из связок определим этот смысл следующими ниже таблицами.

Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что...» (см. табл. 1.2).

Обозначения логического отрицания:

Таблица 1.2. Логическая связка ¬

А	¬ А
1	0
0	1

Из таблицы следует, что отрицание высказывания истинно, когда высказывание ложно, и ложно, когда высказывание истинно.

2. Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и» (см. табл. 1.3).

Обозначения логического умножения:

Таблица 1.3. Логическая связка &

А	В	А & В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Из таблицы следует, что конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна тогда и только тогда, когда ложно хотя бы одно из высказываний.

3. Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или» (см. табл. 1.4).

Обозначения логического сложения:

Таблица 1.4. Логическая связка v

А	В	A v В
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Из таблицы следует, что дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно, и ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания.

4. Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если то ...» (см. табл. 1.5).

Обозначения логического следования: А → В, А ⇒ В. Говорят: если А, то В; А влечёт В; В следует из А.

Таблица 1.5. Логическая связка →

А	В	А → В
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Из таблицы следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная посылка влечёт ложное заключение).

5. Логическое равенство (эквиваленция) образуется соединением двух высказываний с помощью оборота речи «тогда и только тогда, когда...» (см. табл. 1.6).

Обозначения логического равенства: А ~ В, А ⇔ В, А = В. Говорят: А тогда и только тогда, когда В.