Что такое функция - ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ - ФУНКЦИИ

Цель: дать представление о функции и об основных понятиях, связанных с ней.

Планируемые результаты: иметь представление о понятии функции.

Тип урока: урок общеметодологической направленности.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Работа по теме урока

Очень часто рассматривается зависимость между различными величинами. Например, пройденный телом путь зависит от времени движения при постоянной скорости. Масса тела зависит от его объема и плотности материала. Сила притяжения между планетами зависит от их масс и расстояния между ними. Далее будут изучаться зависимости только между двумя величинами. Такие зависимости можно установить различными способами: с помощью формулы (или формул), с помощью графика, с помощью таблицы.

Пример 1

Машина движется по шоссе с постоянной скоростью 70 км/ч. За время t ч машина проходит путь s = 70 ∙ t км. Легко вычислить пройденный путь за любое время:

если t = 1, то s = 70 ∙ 1 = 70;

если t = 1,5, то s = 70 ∙ 1,5 = 105;

если t = 3, то s = 70 ∙ 3 = 210.

Зависимость переменной s от переменной t выражается формулой s = 70 ∙ t (по смыслу задачи t > 0). При изменении величины t меняется также и величина s. Другими словами: в зависимости от времени t движения машины меняется и пройденный путь s. Такую зависимость s = 70t называют функцией. При этом роль переменных s и t различна. Время движения t определяется только желанием водителя и называется независимой переменной или аргументом. Пройденный путь s определяется временем движения t (при скорости 70 км/ч) и называется зависимой переменной. При этом для каждого значения t можно найти только единственное значение s.

Пример 2

На рисунке изображен график скорости машины v в зависимости от времени t за время поездки. Видно, что в течение первого часа машина разгоняется до скорости 50 км/ч, в промежутке от 1 ч до 3 ч она движется с этой постоянной скоростью, от 3 ч до 4 ч — тормозит, и ее скорость уменьшается до нуля, от 4 ч до 6 ч — стоит (ее скорость равна нулю), от 6 ч до 7 ч — разгоняется до скорости 80 км/ч, но движется в противоположном направлении (скорость имеет отрицательный знак), от 7 ч до 9 ч — движется с этой скоростью.

С помощью этого графика можно найти скорость v машины в любой момент времени t (при 0 ≤ t ≤ 9). Например, как видно из графика:

если t = 0,5, то v = 25;

если t = 1,5, то v = 50;

если t = 5, то v = 0;

если t = 6,5, то v = -40;

если t = 8, то v = -80.

При этом величину t мы можем выбирать произвольно (t — независимая переменная). От выбранного значения t зависит величина скорости v. Поэтому v — зависимая переменная. При этом для каждого значения t можно найти единственное значение v.

Пример 3

Рассмотрим таблицу квадратов у натуральных чисел х.

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

Такая таблица также задает функцию: для каждого значения х можно найти единственное значение у. Например, как видно из таблицы:

если х = 2, то у = 4;

если х = 5, то у = 25;

если х = 9, то у = 81.

Сформулируем на основании рассмотренных примеров более общее определение функции. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией (или функциональной зависимостью), если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной (или аргументом), а переменную у — зависимой переменной. Чтобы подчеркнуть, что у зависит от х, обычно пишут так: у(х) (читается: “у от х”). Все значения, которые может принимать независимая переменная х, образуют область определения функции. Все значения, которые при этом принимает зависимая переменная у (значения функции), образуют область значений (или область изменения) функции.

В примере 1 область определения функции s(t) — все t ≥ 0, область значений — все s ≥ 0.

В примере 2 область определения функции v(t) — все t из промежутка 0 ≤ t ≤ 9, область значений — все v из промежутка -80 ≤ v ≤ 50.

В примере 3 область определения функции у(х) — значения x, равные 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, область значений — значения y, равные 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

III. Задания на уроке

№ 258, 260, 261.

IV. Контрольные вопросы

— Приведите примеры функциональных зависимостей, укажите независимую и зависимую переменные.

— Дайте определение функции.

— Что называется областью определения и областью значений функции?

— На каком рисунке изображен график функции?

(Ответ: на рис. б изображен график функции, так как каждому значению х соответствует одно значение у, на рис. а существуют такие значения х, которым соответствуют два значения у.)

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

№ 259, 262, 263, 264.