Прямая пропорциональность и ее график - ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ - ФУНКЦИИ

Цель: рассмотреть прямую пропорциональную зависимость и ее график.

Планируемые результаты: научиться отличать прямую пропорциональность от других функций и строить ее график.

Тип уроков: урок-лекция, урок-практикум.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Приведите пример функциональной зависимости одной переменной от другой. Укажите независимую и зависимую переменные.

2. Для функции у = х² - 4 (где -3 ≤ х ≤ 3) составьте таблицу значений аргумента и соответствующих значений функции с шагом 1. Постройте график функции.

Вариант 2

1. Приведите пример функциональной зависимости одной переменной от другой. Укажите независимую и зависимую переменные.

2. Для функции у = 4 - x² (где -3 ≤ х ≤ 3) составьте таблицу значений аргумента и соответствующих значений функции с шагом 1. Постройте график функции.

III. Работа по теме уроков

План уроков

1. Понятие прямой пропорциональности.

2. График прямой пропорциональной зависимости.

1. Понятие прямой пропорциональности

Очень часто приходится рассматривать функцию вида у = kх, где х — независимая переменная, k — число (не равное нулю). Такую функцию называют прямой пропорциональностью или прямой пропорциональной зависимостью. При этом число k называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Из формулы у = kх найдем значения функции при х₁ и х₂ (причем x₁ ≠ 0 и х₂ ≠ 0) и получим у₁ = _kx1и у₂ = kх₂. Почленно разделим эти равенства друг на друга и придем к пропорции Такая пропорция означает, что значение функции изменяется во столько же раз, во сколько раз меняется значение аргумента. С этим и связано название “прямая пропорциональность”.

Пример 1

При растяжении пружины по закону Гука сила упругости F пропорциональна удлинению пружины l, т. е. F = а ∙ l (где коэффициент а определяется материалом, толщиной, закалкой пружины и т. д.).

Пример 2

При движении машины с постоянной скоростью v пройденный путь s пропорционален времени движения t машины, т. е. s = v ∙ t.

2. График прямой пропорциональной зависимости

Графиком прямой пропорциональности у = kх будет прямая, проходящая через начало координат.

Действительно, при x = 0 величина у = k ∙ 0 = 0 при любом значении k. Следовательно, график функции проходит через точку (0; 0) — начало координат. Поэтому для построения графика функции у = k ∙ х достаточно взять еще только одну точку.

Пример 3

Построим график функции у = -2,5x.

Так как у = -2,5х — прямая пропорциональная зависимость, то ее график проходит через начало координат. Найдем еще одну точку, расположенную на графике. Например, для x = 2 получаем у = -2,5 ∙ 2 = -5, искомая точка А (2; -5).

Построим эту точку на координатной плоскости. Через точку А и начало координат с помощью линейки проведем прямую линию, которая будет являться графиком данной функции.

Пример 4

В одной и той же системе координат построим графики функций:

а) у = x;

б) у = 2х;

в) у = -2х.

Все три графика проходят через начало координат. Возьмем еще значение х= 1. Для функции а получаем у = 1 (точка А (1; 1)), для функции б у = 2 (точка В (1; 2)), для функции в у = -2 (точка С (1; -2)). Теперь построим эти три прямые а, б, в.

Видно, что при положительных значениях к (прямые а и б) графики располагаются в первом и третьем координатных углах. Причем чем больше значение k, тем быстрее меняется функция (больше угол наклона прямой k оси абсцисс).

При отрицательных значениях k (прямая в) график располагается во втором и четвертом координатных углах.

Таким образом, коэффициент k характеризует расположение графика функции и скорость изменения функции (угол наклона графика к оси абсцисс). Поэтому коэффициент k ещё называется угловым коэффициентом.

IV. Задания на уроках

№ 298, 300 (а, б), 301, 304, 305 (д, е), 307.

V. Контрольные вопросы

— Какая функция называется прямой пропорциональной зависимостью?

— Приведите примеры прямых пропорциональных зависимостей.

— На что влияет угловой коэффициент к?

VI. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 299, 300 (д, е), 302, 303, 306, 308, 309.