Разложение разности квадратов на множители - РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ. СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Цель: научить раскладывать выражения на множители с помощью формул разности квадратов.

Планируемые результаты: научиться раскладывать выражения на множители.

Тип уроков: уроки общеметодологической направленности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Найдите значение произведения:

а) 97 ∙ 103;

б) 17,7 ∙ 18,3;

2. Выполните умножение:

3. Упростите выражение

Вариант 2

1. Найдите значение произведения:

а) 104 ∙ 96;

б) 15,7 ∙ 16,3.

2. Выполните умножение:

3. Упростите выражение

III. Работа по теме уроков

В равенстве поменяем местами части и получим тождество

Разность квадратов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) и их суммы. Такое тождество называют формулой разности квадратов. Ее используют для разложения на множители разности квадратов чисел или выражений.

Пример 1

Докажем, что число 47⁴ - 32² составное.

Используем формулу разности квадратов и получаем

Видно, что у данного числа есть множители 47² - 32 и 47² + 32, поэтому такое число по определению является составным.

Пример 2

Докажем, что число 16⁴ - 231² кратно 25.

Применим формулу разности квадратов и получим

Так как данное число имеет делитель 25, то оно кратно 25.

Пример 3

Сократим дробь

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получаем

Пример 4

Найдем значение выражения 100² - 99² + 98² - 97² + ... + 2² - 1².

В приведенную сумму входят сто чисел. Сгруппируем их последовательно попарно и используем формулу разности квадратов. Получаем

После группировки членов получилось 50 выражений, поэтому надо сложить 50 чисел. Каждое следующее число на 4 меньше предыдущего (т. е. числа образуют арифметическую прогрессию).

Чтобы найти сумму чисел, также сгруппируем их попарно: первое с последним, второе с предпоследним и т. д. Получаем

Заметим, что при попарной группировке 50 чисел получилось 25 скобок и в результате 25 одинаковых чисел 202.

Пример 5

Разложим на множители выражение 25x⁴ - 16у².

Представим этот двучлен в виде разности квадратов и используем формулу разности квадратов:

Пример 6

Разложим на множители квадратный трехчлен х² + 4х + 3.

Дополним это выражение до квадрата суммы: х² + 4х + 3 = х² + 4х + 4 - 1 = (х² + 4х + 4) - 1 = (х + 2)² - 1².

Затем применим формулу разности квадратов: (х + 2)² - 1² = = (х + 2 - 1)(х + 2 + 1) = (х + 1)(х + 3).

Таким образом, получили х² + 4х + 3 = (х + 1)(х + 3).

Заметим, что ранее для разложения квадратных трехчленов мы использовали способ группировки членов. Представим член 4х в виде 4х = х + 3х. Тогда получаем х² + 4х + 3 = х² + х + 3х + 3 = (х² + х) + (3х + 3) = х(х + 1) + 3(х + 1) = (х + 1)(х + 3).

Пример 7

Разложим на множители двучлен x⁴ + 4.

Дополним это выражение до квадрата суммы. Для этого прибавим и вычтем 4n² и используем формулу разности квадратов. Получаем

IV. Задания на уроках

№ 883 (д, и), 884 (а-в), 887 (в, г), 890 (г, д), 896 (а, в), 897 (б, в), 898 (а).

V. Творческие задания

1. Разложите на множители выражение:

(Ответы: а) (х + 2)(х + 4); б) (х + 4)(2 - х); в) (х + 6)(х + 8); г) (х - 4)(6 - х); д) (2х² - 2х + 1 )(2х² + 2х + 1) (добавить и вычесть 4х²); е) (х² - х + 1)(х² + х + 1) (добавить и вычесть х²).)

2. Докажите, что при любом натуральном л значение выражения:

а) кратно 3;

б) кратно 5;

в) кратно 6;

г) кратно 7.

3. Сократите алгебраическую дробь:

Домашнее задание

№ 883 (в, к), 884 (г—е), 887 (а, б), 890 (з, и), 896 (б, г), 897 (а, г), 898 (б).