ФУНКЦИИ y = x^-1 И у = x^-2 И ИХ СВОЙСТВА - СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ

Цели: рассмотреть функции у = x^-1 и у = х^-2, изучить их свойства; формировать умения строить графики данных функций, решать задачи с их использованием.

Ход урока

I. Актуализация знаний.

Повторить свойства изученных ранее функций:

1. у = kх и частный случай у = х при k = 1.

2. у = хⁿ, где n - натуральное число, в частности, у = х² и у = x³ (знакомы из курса алгебры 7 класса).

3. и частный случаи при k = 1.

II. Объяснение нового материала.

1. Замечаем, что и перечисляем свойства функции у = х^-1:

1) Если х > 0, то у > 0;

Если х < 0, то у < 0.

Графиком функции является гипербола, расположенная в 1-й и 3-й четвертях координатной плоскости.

2) Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции; график функции у = х^-1 симметричен относительно начала координат.

3) Если значения аргумента при х > 0 неограниченно возрастают (х → ∞), то соответствующие им значения функции убывают (у → 0). Если значения аргумента при х > 0 убывают, то есть стремятся к нулю (х → 0), то соответствующие значения функции неограниченно возрастают (у → ∞).

Можно предложить учащимся самостоятельно сделать аналогичные выводы для х < 0.

4) Значения аргумента и соответствующие им значения функции являются взаимно обратными числами.

2. Замечаем, что и перечисляем свойства функции y = х^-2:

1) При любом значении аргумента значения функции - положительные числа.

2) Любым противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции; график функции у = х^-2 симметричен относительно оси у.

3) Если х → +∞ или х → -∞, то у → 0;

если х → 0, то у → +∞.

4) График функции состоит из двух ветвей (плавных кривых), расположенных в 1-й и 2-й четвертях координатной плоскости. Для его построения необходимо взять несколько значений х > 0, причём как 0 < х < 1, так и х ≥ 1, и вычислить соответствующие значения функции. Построив одну ветвь графика, вторую получаем отображением её относительно оси у.

III. Формирование умений и навыков.

№ 1062.

№ 1063.

№ 1064.

Определим общие точки графиков, решив уравнение:

- уравнение с параметром l.

1) Уравнение имеет 2 корня, если D > 0 (графики имеют две общие точки).

D > 0, если по свойству неравенств, l > 2.

2) Уравнение имеет 1 корень, если D = 0 (графики имеют одну общую точку).

D = 0, если (так как l > 0).

3) Уравнение не имеет корней, если D < 0 (графики не имеют общих точек).

D < 0, если по свойству неравенств l < 2.

№ 1068.

№ 1069.

Имеем: значит, в порядке возрастания числа будут располагаться так:

б) Аналогично докажем, что при x₀ > 1 в порядке возрастания числа будут располагаться так:

№ 1070.

№ 1071.

Выполняем построение, аналогичное номеру 1070. Можно предложить выполнить дополнительное задание: определить, сколько корней имеет уравнение у = a? (а - параметр).

Уроки 99-101. ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ

Задания для итогового повторения курса алгебры 8 класса можно найти в дидактических материалах к учебнику.