ЦИЛИНДР - НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятий цилиндра, цилиндрической поверхности, образующих цилиндр, для доказательства теорем об объеме цилиндра, о площади боковой поверхности цилиндра, для обучения применению этих теорем при решении задач

Термины и понятия

Ось цилиндра, его высота, основания цилиндра, образующая, боковая поверхность

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют объяснять какое тело называется цилиндром, что такое его ось, высота, основания, боковая поверхность, образующая, развертка

Познавательные: умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы.

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Коммуникативные: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные

ресурсы

• Задания для построения

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Систематизировать знания учащихся по изученным темам

(Ф)

1. Обсуждение вопросов учащихся по домашнему заданию.

2. Практическая работа.

1) Построить правильную треугольную пирамиду, четырехугольную пирамиду, шестиугольную пирамиду.

2) Провести высоты и апофемы.

3) Найти объемы этих пирамид, если высота равна 1, сторона основания равна 1.

Ответы: треугольная: четырехугольная: V = 1/3; шестиугольная:

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие цилиндра и его элементов

(Ф)

1. Ознакомить учащихся с цилиндром.

- Возьмем прямоугольник ABCD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например, вокруг стороны АВ (рис. 360). В результате получится тело, которое называется цилиндром.

Учитель показывает модель цилиндра.

2. Организовать построение на доске и в тетрадях изображения цилиндра и его частей (рис. 360 на с. 319).

- Прямая АВ называется осью цилиндра, а отрезок АВ - его высотой. При вращении сторон AD и ВС образуются два равных круга - они называются основаниямицилиндра, а их радиус называется радиусом цилиндра. При вращении стороны CD образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра. Ее называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра, а отрезки, из которых она составлена, - образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр - это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

3. Рассмотреть решение задачи № 1213 (рис. 366, с. 326).

Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

где S - площадь основания; h - высота цилиндра.

4. Ввести понятие развертки боковой поверхности цилиндра, используя рисунок учебника (рис. 361). Записать в тетрадях: “Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, то есть где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра”

III этап. Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

На простейших задачах отработать основные понятии цилиндра

(Ф/И) Организует деятельность учащихся.

1. Решить задачу № 1214 (б; в) на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 1216. (Учащиесярешают задачу самостоятельно, а затем проверяется решение.)

3. Решить задачу № 1217. Задача практического характера.

4. Решить задачу № 1245.

5. Решить задачу № 1246. (Учитель объясняет решение.)

6. Решить задачу № 1247

№ 1214.

б) Дано: V = 120 см³; h = 3,6 см.

Найти: r.

Решение:

V = Sh, отсюда отсюда

Ответ:

в) Дано: r = h; V = 8π см³.

Найти: h.

Решение:

тогда 8π = πh³, отсюда

Ответ: 2.

№ 1216.

Дано: диаметр d = 1 м; h = с (длина окружности основания).

Найти: S_бок.

Решение:

Длина окружности равна с = 2πr = πd; по условию h = с, тогда h = πd = π ∙ 1 м = π (м).

Ответ: π² м².

№ 1217.

Дано: h = 4 м; d = 20 см.

Найти: S_бок.

Решение:

Найдем 2,5 % от 0,8π².

2,5 % = 0,025; тогда 0,8π ∙ 0,025 = 0,02π (м²).

Всего пойдет жести:

Ответ: ≈ 2,58 м².

№ 1245.

Решение:

Плотность свинца ρ = 11,4 г/см³; h = 25 м = 2500 см.

найдем объем свинцовой трубы:

Основание свинцовой трубы представляет собой кольцо. Найдем площадь кольца по формуле где R₁ = 6,5 + 4 = 10,5 (мм), R₂ = 6,5 мм.

Объем свинцовой трубы равен:

Ответ: 61 кг.

№ 1246.

Дано: по условию задачи h > r на 12 см, тогда h = r + 12 см.

S_{полной поверхности} = 288π см².

Найти: r и h.

Решение:

По условию S_полн. = 288π (см²), тогда 4πr² + 24πr = 288π; разделим обе части равенства на 4π, получим: r² = 6r - 72 = 0.

r₁ = 6; r₂ = -12 - не удовлетворяет условию задачи.

Значит, радиус цилиндра равен 6 см, а высота цилиндра 6 + 12 = 18 (см).

Ответ: 6 см; 18 см.

№ 1247.

Решение:

Обозначим сторону квадрата х, тогда из ∆ADC по теореме Пифагора найдем d² = х² + х² = 2x²; отсюда

значит,

Мы знаем, что тогда отсюда найдем

Площадь основания цилиндра равна

Ответ: d²/8π

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- С каким цветом радуги ассоциируется данный урок?

• Оранжевый - радостное, восторженное настроение;

• красный - нервозное, возбужденное состоянии, агрессия;

• синий цвет - грустное настроение, пассивность, усталость, желание отдохнуть;

• зеленый цвет - активность;

• желтый цвет - цвет радости;

• фиолетовый цвет - беспокойное, тревожное настроение, близкое к разочарованию

(И) Домашнее задание: изучить материал пункта 129, решить задачи № 1214 (а) и № 1244