Функции у = х^-n (n ∈ N), их свойства и графики - Числовые функции

Цель: рассмотреть свойства и график функции у = х^-n (n ∈ N).

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Дана функция f(х) = 2(х - 1)⁴. Вычислите 2f(0) – 3f(1) + 4f(2).

2. Сравните числа: а) (-7,2)⁶ и (6,1)⁶; б) (-4,8)³ и 2,7³.

3. Постройте график функции у = (х + 1)⁴ - 2.

Вариант 2

1. Дана функция f(х) = -2(х + 1)⁴. Вычислите 6f(-1) + 4f(0) – 3f(1).

2. Сравните числа: а) (-9,3)⁴ и (7,3)⁴; б) (-7,8)⁵ и 4,7⁵.

3. Постройте график функции у = (х + 1)³ - 2.

III. Изучение нового материала

Рассмотрим теперь функции у = х^-n (n ∈ N). Такие функции называют степенными функциями с отрицательным целыми показателями. По определению степени с отрицательным показателем рассматриваемые функции можно записывать и в виде y = 1/xⁿ. При n = 1 функция у = 1/x была изучена. Ее графиком является гипербола. Также необходимо обсудить свойства и график степенной функции при любом натуральном n. Эти характеристики существенно различаются в зависимости от четности или нечетности числа n.

Приведем свойства функции у = х^-n при четном n.

1) Область определения функции - все значения х, кроме нуля, т.е. D(f) = (-∞; 0)U(0; +∞).

2) График не пересекает осей координат. При этом ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика функции, ось ординат - вертикальной асимптотой графика (напомним, что асимптотой графика функции называют прямую, к которой при определенных условиях неограниченно близко приближается график).

3) При всех х из области определения y > 0. Поэтому график расположен в первой и второй координатных четвертях.

4) Функция четная: у(-х) = у(х). Следовательно, график функции симметричен относительно оси ординат.

5) Функция возрастает в промежутке (-∞; 0) и убывает в промежутке (0; +∞). Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.

6) Функция ограничена снизу: у > 0.

7) Область значений функции E(f) = (0; +∞).

8) График функции представлен на рис. а.

Рассмотрим также свойства функции у = х^-n при нечетном n (они аналогичны свойствам функции у = 1/x).

1) Область определения функции - все значения х, кроме нуля, т.е. D(f) = (-∞; 0)U(0; +∞)).

2) График не пересекает осей координат. При этом ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика функции, ось ординат - вертикальной асимптотой.

3) При х > 0 значения у > 0, при х < 0 - у < 0. Поэтому график расположен в первой и третьей координатных четвертях.

4) Функция нечетная: y(-x) = -у(х). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

5) Функция убывает в области определения. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.

6) Функция не ограничена.

7) Область значений функции E(f) ∈ (-∞; 0)U(0; +∞).

8) График функции представлен на рис. б.

Пример 1

Сравним числа 0,17^-3 и 0,19^-3.

Сравниваются два значения степенной функции у = х^-3 при х = 0,17 и х = 0,19. При n = 3 функция убывающая. Поэтому 0,17^-3 > 0,19^-3.

Пример 2

Построим график функции

Такой график получается параллельным переносом графика у = 1/x² на две единицы вправо и на одну единицу вверх. Поэтому график имеет вертикальную асимптоту х = 2 и горизонтальную асимптоту у = 1. При этом график симметричен относительно прямой х = 2.

Пример 3

Определим число решений системы уравнений

Построим графики функций y = 1/x³ и у = 3 - х. Видно, что графики функций пересекаются в двух точках: А и В. Поэтому данная система уравнений имеет два решения.

Пример 4

Даны функции f(x) = х^-3 и g(x) = х⁴. Докажем, что выполняется равенство (f(х²))²=(g(x))^-3_.

Сначала найдем f(x²) = (х²)^-3 = х^-6 и (f(х²))² = (х^-6)² = х^-12. Также найдем (g(x))^-3= (х⁴)^-3 = х^-12. Видно, что данное равенство действительно выполняется.

IV. Контрольные вопросы

1. Перечислите основные свойства и приведите график функции у = х^-n для четных n.

2. Приведите свойства и график степенной функции у = х^-n для нечетных n.

V. Задание на уроках

§ 13, № 2 (а, б); 4 (а, в); 5; 7; 11 (б); 12; 19; 21 (а); 22 (а, б); 24.

VI. Задание на дом

§ 13, № 2 (в, г); 4 (б, г); 6; 8; 11 (г); 13; 20; 21 (б); 22 (в, г); 25.

VII. Подведение итогов уроков