Итоги контрольной работы - урок 3 - Тригонометрические уравнения - 1-е полугодие

Цели: сообщить результаты работы; рассмотреть типичные ошибки; разобрать трудные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и целей урока

II. Итоги контрольной работы

III. Ответы и решени.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

1, а. Обозначим тогда Надо найти sin а. Равенство tg a = -1/2 возведем в квадрат и получим: или или откуда и Учтем, что

Ответ:

1, б. Используем равенство Тогда

Ответ: 1/2.

2. ОДЗ уравнения задается условиями и sin х ≠ 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю, а другой имеет смысл. Уравнение имеет корни х = 0 и х = 5. Уравнение (или ) имеет решения При этом в ОДЗ уравнения попадает только значение

Ответ: 0; 5: 5π/6.

3. а. Учтем формулы приведения и получим однородное тригонометрическое уравнение первой степени 2 cos 3x + sin 3x = 0. Разделим все члены уравнения на cos 3x. Имеем: 2 + tg 3x = 0 или tg 3x = -2, откуда

Ответ:

3, б. Используем равенство sin2 x + cos2 x = 1 и получим однородное тригонометрическое уравнение второй степени или Разделим все члены уравнения на cos2 x. Имеем: 4 tg2 x + tg x - 3 = 0. Введем новую переменную z = tg x и получим квадратное уравнение 4z2 + z - 3 = 0, корни которого z1 = -1 и z2 = 3/4. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие тригонометрические уравнения tg x = -1 (решения ) и tg x = 3/4 (решения ).

Ответ:

4. Обозначим а = arccos х, где а ∈ [0; π]. Тогда х = cos а и у = sin а ≥ 0. Возведем эти равенства в квадрат: х2 = cos2 a и у2 = sin2 a. Сложим равенства и получим уравнение окружности х2 + у2 = 1. С учетом ограничения у ≥ 0 остается только верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 1.

Ответ: график построен.

Вариант 6

1, а. Обозначим тогда Надо найти cos а. Равенство ctg a = -1/3 возведем в квадрат и получим: или или откуда и Учтено,

Ответ:

1, б. Используем равенство Тогда

Ответ: 1/2.

2. ОДЗ уравнения задается условиями и cos х ≠ 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю, а другой имеет смысл. Уравнение имеет корни х = 0 и х = 6. Уравнение (или ) имеет решения При этом в ОДЗ уравнения попадают только значения

Ответ:

3, а. Учтем формулы приведения и получим однородное тригонометрическое уравнение первой степени –sin 2x – cos 2x = 0. Разделим все члены уравнения на cos 2х. Имеем: -tg 2x —1 = 0 или tg 2х = -1, откуда

Ответ:

3, б. Используем равенство sin2 х + cos2 х = 1 и получим однородное тригонометрическое уравнение второй степени или Разделим все члены уравнения на cos2 x. Имеем: 2 tg2 x – tg x - 1 = 0. Введем новую переменную z = tg x и получим квадратное уравнение 2z2 - z - 1 = 0, корни которого z1 = 1 и z2 = -1/2. Вернемся к старой неизвестной и полним простейшие тригонометрические уравнения tg х = 1 (решения ) и tg x = -1/2 (решения ).

Ответ:

4. Обозначим а = arcsin х, где Тогда х = sin а и у = cos а ≥ 0. Возведем эти равенства в квадрат: х2 = sin2 a и у2 = cos2 a. Сложим равенства и получим уравнение окружности х2 + у2 = 1. С учетом ограничения у ≥ 0 остается только верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 1.

Ответ: график построен.