Формулы двойного аргумента - Преобразование тригонометрических выражений - 1-е полугодие

Цель: рассмотреть формулы кратных аргументов.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Напишите формулы sin(x + у), cos(x - у).

2. Упростите выражение:

Вариант 2

1. Напишите формулы sin(x - у), cos(x + у).

2. Упростите выражение:

III. Изучение нового материал.

1. Формулы двойного аргумента (угла)

Пример 1

Выведем формулу (8).

В формуле положим х = у. Получим: или Аналогично получается формула (9).

Пример 2

Упростим выражения:

Пример 3

Пусть Найдем sin2a, cos2a, tg2a.

Сначала найдем cos а. Получим: откуда (учтено, что и cos a < 0). Теперь найдем требуемые величины:

Из соотношений (8), (9) легко получить формулы понижения степени, которые очень часто используются при решении задач:

Пример 4

Докажем формулу (11).

Преобразуем правую часть равенства: Были учтены формулы (1) и (9). Аналогично доказывается и формула (10).

Пример 5

Найдем наибольшее и наименьшее значения выражения

Воспользуемся соотношением (10): Теперь проведем оценки: тогда откуда Итак, -1 ≤ А ≤ 3.

2. Формулы тройного аргумент.

Эти формулы применяются гораздо реже, чем формулы двойного аргумента. Но тем не менее в некоторых задачах их использование полезно.

Пример 6

Выведем формулу для sin 3x.

Используем формулу для синуса суммы аргументов (7) и функций двойного аргумента (8)—(9) и получим:

Пример 7

Вычислим

Обозначим а = arccos 3/5, тогда cos a = 3/5 и Надо вычислить Сначала найдем затем

Формулы могут быть использованы и при решении более сложных задач.

Пример 8

Найдем sin 18°.

Используя формулы приведения, преобразуем sin 36° = sin(90° - 54°) = cos 54° или sin 36° = cos 54°, или sin 2a = cos 3a (где a = 18°). Далее применим формулы кратных углов Так как cos a ≠ 0, то получим: или 4 sin2 a + 2 sin a - 1 = 0. Введем новую переменную x = sin a = sin 18° и решим квадратное уравнение 4х2 + 2х - 1 = 0. Его корни и Учитывая, что х > 0, получим:

3. Связь тригонометрических функций с тангенсом половинного аргумента

В ряде случаев полезны следующие формулы:

Пример 9

Получим формулу для tg x.

Используем формулы (8)-(9) для функций двойного аргумента:

Разделим числитель и знаменатель дроби на и получим:

При этом возникают ограничения. Выражение имеет смысл (тогда

Пример 10

Решим уравнение

Используем вторую из приведенных формул и получим.

Введем новую переменную и придем к рациональному уравнению Избавимся от знаменателя и получим: Это уравнение имеет единственный корень у = - 1. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшее тригонометрическое уравнение откуда

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Формулы двойного аргумента.

2. Формулы тройного аргумента.

3. Связь тригонометрических функций с тангенсом половинного аргумента.

V. Задание на уроках

§ 21, № 1 (а, в); 2 (б); 3 (а, б); 5 (а); 9; 11 (а); 12 (б); 14 (а, б); 18 (а); 21 (в, г); 25 (а, г); 27 (а); 28 (б); 29 (а, б); 31 (а); 34 (б); 35 (а); 38 (б).

VI. Задание на дом

§ 21, № 1 (б, г); 2 (г); 3 (в, г); 5 (б); 10; 11 (б); 12 (а); 14 (в, г); 18 (б); 21 (а, б); 25 (б, в); 27 (б); 28 (в); 29 (в, г); 31 (б); 34 (а); 35 (б); 38 (а).

VII. Подведение итогов уроков