Степень с рациональным показателем (факультативное занятие) - Степенная функция. Корень n-й степени - Квадратичная функция

Цель: рассмотреть определение и свойства степени с рациональным показателем.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Постройте график функции.

Вариант 2

Постройте график функции.

III. Изучение нового материала

Разумно считать, что выражение а1/n (где а > 0 и n – натуральное число) обозначает Это соображение позволяет определить степень с рациональным показателем: если а - положительное число, m/n - дробное число (где m - целое, n - натуральное число), то

Пример 1

По определению степени с рациональным показателем имеем:

Степень с основанием, равным нулю, определена только для положительного дробного показателя и равна нулю, т. е. если m/n - положительное дробное число (m и n - натуральные числа), то 0m/n = 0. Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не определена (не имеет смысла).

Пример 2

а) Выражения равны нулю.

б) Выражения не имеют смысла.

Свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с рациональным показателем.

Для любого а > 0 и любых рациональных чисел р и q справедливы равенства:

Для любых а > 0 и b > 0 и любого рационального числа р выполнены равенства:

Пример 3

Найдем значение выражения при х = 30.

Предварительно упростим это выражение. Получаем:

Подставим в полученное выражение значение х = 30 и найдем

Заметим, что можно избавиться от рациональных показателей степени. Для этого достаточно ввести новую переменную у = х0,5. Тогда данное выражение имеет вид: .

Так как х = у2 = 30, то сразу найдем

IV. Контрольные вопросы

1. Определение степени с рациональным показателем.

2. Свойства степени с рациональным показателем.

V. Задание на уроке

№ 190 (г); 191 (а, б, ж); 192 (в, д, ж); 193 (г, д, е); 194 (а, б); 195 (в, г); 196 (а); 197 (а, в, д); 198 (а); 199.

VI. Задание на дом

№ 190 (в); 191 (в, г, е, з); 192 (г, з); 193 (в, ж, и); 194 (в, г); 195 (а, б); 196 (б); 196 (б); 197 (б, г, е); 198 (б).

VII. Подведение итогов урока