Свойства параллельных плоскостей - ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ - ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) рассмотреть свойства параллельных плоскостей;

2) сформировать навык применения изученных свойств параллельных плоскостей при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

Теоретический опрос

а) Один ученик готовит у доски доказательство признака параллельности двух плоскостей.

б) Другой записывает на доске решение домашней задачи № 55.

в) Двое учащихся решают по карточкам индивидуального опроса.

1. Плоскости α и β параллельны, прямая m параллельна плоскости β.

Дано: α || β, m ⊂ α (рис. 1).

Доказать: что m || β.

Решение:

1) Пусть m не параллельна β.

2) Получили противоречие условию α || β. Следовательно, m || β. Что и требовалось доказать.

2. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α.

Дано: ΔАВС, АВ || α, ВС || α. (рис. 2).

Доказать: АС || α.

Решение: Если две пересекающиеся прямые плоскости ABC параллельны плоскости α, то (ABC) || α. Так как АС ⊂ (ABC), a (ABC) || α, то АС || α. Что и требовалось доказать.

г) Фронтальный теоретический опрос

- сформулируйте определение параллельных плоскостей;

- укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки;

- сформулируйте признак параллельности плоскостей.

Выслушивается доказательство теоремы и решение задачи № 55.

III. Изучение нового материала

1. Рассмотреть свойства параллельных плоскостей.

1. Дано: (рис. 3).

Доказать: а || b.

Доказательство: Предположим, что а ∩ b. Тогда α и β имели бы общую точку, что невозможно, так как α || β по условию. Итак, а и b лежат в одной плоскости γ и не пересекаются. Значит, а || b. Свойство доказано.

2. Дано: АВ || CD, α || β (рис. 4).

Доказать: АВ = CD.

Доказательство.

1) по свойству 1° АС || BD.

2) В четырехугольнике ABCD ABCD – параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, АВ = CD. Что и требовалось доказать.

IV. Закрепление изученного материала

1. Решение задачи 58

Дано: α || β, а пересекается с γ (рис. 5).

Доказать, что β пересекается с γ.

Решение: Пусть γ пересекает α по прямой а. Проведем в плоскости γ прямую b, пересекающую а. Прямая b пересекает α, поэтому она пересекает параллельную ей плоскость β (задача № 55). Следовательно, и плоскость γ, в которой лежит прямая b, пересекает плоскость β.

2. Задача 636

Дано: (рис. 6).

Найти: А2В2, АА2.

Решение:

1. Так как α || β, по свойству 1° параллельных плоскостей А1В1 || А2В2.

2. В (ВАС) ΔA1AB ~ ΔА2АВ2 (по двум углам: ∠А - общий, ∠АА1В1 = ∠АА2В2 как соответственные при параллельных прямых А1В1 и А2В2 и секущей АВ). Из подобия треугольников следует, что (Ответ: 54 см = А2В2, АА2 = 72 см.)

V. Самостоятельная работа (см. приложение)

VI. Подведение итогов

Домашнее задание

П. 11 пов., п. 10. № 59, 63 а, 64.

Дополнительная задача

Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости а? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.

Решение дополнительной задачи.

Да, существует; такая плоскость только одна. Выберем на прямой а || α произвольную точку А. Тогда через точку А можно провести единственную плоскость, параллельную α (задача 59 решена в учебнике).

Пусть через прямую а можно провести другую плоскость β; α || β. Тогда через произвольную точку А ⊂ а проходят сразу две плоскости. А это противоречит доказанному утверждению.

Задача 63 а

Дано: (рис. 7).

Найти: АА2 и АВ2.

Решение: α || β (ВАС) пересекает α и β. По свойству параллельных плоскостей А1В1 || А2В2 (п. 11, 1°). (ВАС): ΔА1АВ1 ~ ΔА2АВ2 (по двум углам, ∠А - общий, ∠AA1B1 = ∠АА2В2 - соответственные при параллельных прямых А1В1 и A2В2 и секущей АВ). Из подобия треугольников следует.

(Ответ: АА2 = 18 см, АВ2 = 15 см.)

Задача 64

Дано: α || β, А1А2, В1В2, С1С2 пересекают α в точках А1, В1, С1 соответственно, а β - А2, В2, С2. А1А2, В1В2, С1С2 проходят через точку О и не лежат в одной плоскости (рис. 8).

Доказать: ΔA1B1C1 ~ ΔА2В2С2.

Решение: Две пересекающиеся прямые единственным образом задают плоскость. А1А2 ∩ В1В2 = 0. Они задают плоскость (A1B1B2). По свойству параллельных плоскостей (п. 11, 1°), A1B1 || А2В2. Аналогично: А1С1 || А2С2, ΔOA1C1 ~ ΔОА2С2 (рис. 9). (∠1 = ∠2 - как вертикальные, ∠3 = ∠4 - как накрест лежащие).

Учитывая соотношения (1), (2), (3), получим Значит, ΔA1B1C1 ~ ΔА2В2С2 по третьему признаку подобия (пропорциональность сторон).