Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Числа количественные и порядковые. Четные и нечетные

Натуральный ряд чисел позволя­ет ответить на вопрос, сколько предметов в том или другом мно­жестве. Кроме того, он позволяет расположить предметы в определенной последовательности и вы­яснить, которым по порядку идет тот или иной предмет — шестым, седьмым или четырнадцатым и т. п. В первом случае числа называ­ют количественными (два, четы­ре, семь), а во втором — порядко­выми (седьмой, десятый и т. д.).

Порядковые числа натурально­го ряда позволяют, скажем, в ше­ренге солдат быстро определить место каждого человека, стоит лишь выполнить команду: «По порядку номеров рассчитайся!»

Деление чисел на количествен­ные и порядковые было известно с самых древних времен.

Все числа натурального ряда можно распределить на два бес­конечных ряда — числа нечетные и числа четные. Вот начала этих рядов.

Числа нечетные: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,15, 17, 19, 21, 23...

Числа четные: 2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 18, 20, 22...

В натуральном ряду числа нечетные и четные строго череду­ются. За нечетным числом обяза­тельно следует четное, за ним — нечетное.

Четные и нечетные числа были известны еще египтянам, хотя они их так и не называли. В Греции по­добное распределение чисел при­писывают Пифагору (VI в. до н. э.) и его последователям. Позже по­нятие о четных и нечетных числах получило довольно широкое рас­пространение, что подтверждает­ся игрой «в чет и нечет», вошедшей тогда в моду среди привиле­гированных слоев греков. Деле­ние чисел на четные и нечетные вызывало интерес к свойствам натурального ряда чисел у многих математиков Греции.

Ряд нечетных чисел обладает интересными свойствами. Убеди­тесь в этом сами:

Из приведенной таблицы вид­но, что сумма двух первых рядом стоящих нечетных чисел дает произведение 2 • 2. Сумма трех не­четных стоящих рядом чисел дает произведение 3 • 3. Сумма первых восьми рядом стоящих нечетных чисел даст 8•8. Сумма тринадцати рядом стоящих нечетных чисел, по-видимому, даст 13 • 13 = 169. Проверьте это утверждение.

Сделанное наблюдение можно строго доказать.

Натуральный ряд чисел можно разделить на три группы. Пер­вая — это единица; вторая груп­па — это числа простые, т. е. такие, которые делятся на единицу и на самих себя и больше никаких дели­телей не имеют, например: 2, 7, 19 и др. Третья группа — числа со­ставные, т. е. составленные из множителей, представляющих собой простые числа. К ним отно­сятся, например, числа 4, 6, 8, 9, 15, 20 и др. Каждое из составных чисел можно выразить произве­дением нескольких простых чи­сел. Например: 20 = 2 • 2 • 5; 18 = 2 • 3 • 3; 34 = 2 • 17 и т. д.

Понятия о простых числах и со­ставных сложились также у пифагорийцев. Название этим группам чисел было присвоено позже. В книге Евклида «Начала» речь идет как о числах простых, так и о составных. К простым числам уче­ный отнес и единицу. Исключение единицы из группы простых чисел произошло значительно позже. Это сделал великий математик Леонард Эйлер (1707 — 1783). Эйлер родился и получил образо­вание в Швейцарии, а в 1727 г. был приглашен в Петербургскую академию наук. Он указал, что единица, будучи началом всех це­лых чисел, не является ни про­стым, ни составным числом, так как у единицы только один дели­тель, равный числу один. О числе два, которое теперь с полным ос­нованием отнесено к простым чи­слам, у древних греков существовали разные мнения. Одни из них считали это число простым, дру­гие не относили его к таковым.

Геометрические фигуры пифагорийцев.

Пифагорийцы тесно связывали числа с геометрическими фигура­ми. Они составляли из камешков или ракушек разнообразные фи­гуры, которые содержали определенное число предметов, а также изображали числа точками, рас­положенными в определенном порядке в геометрических фигу­рах. Таким образом числа получались треугольные, квадратные и др.