Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Математики создают язык алгебры

Известно, что при решении зада­чи самое главное — осмыслить содержание задачи и выразить его на языке алгебры, т. е. запи­сать условие задачи посредством символов — математических зна­ков.

Так, задачу, которая расска­зывает о жизни Диофанта, можно перевести на язык алгебры сле­дующим образом:

Решив это уравнение, найдем х = 84. Диофант прожил 84 года. Это все, что нам известно о жизни замечательного ученого.

Диофант в своей «Арифмети­ке» дает понятие об алгебраичес­ком уравнении, записанном сим­волами, однако очень далекими от современных. Путь к современ­ному языку в математике — путь постепенного изобретения, прео­бразования и развития символов, начиная от египтян и вавилонян, был очень долгим.

Диофант обозначал неизвест­ное, которое он называл аритмос (число), греческой буквой σ (сиг­ма), коэффициент при неизвест­ном ставил после неизвестного, а букву σ' писал со штрихом и ее по­вторял. Неизвестное называл множеством. Например,

Знак сложения он не писал — сла­гаемые он записывал рядом одно с другим, что и означало сумму. Иногда он заменял символы их со­кращенными названиями. Так, в его рукописи встречается замена неизвестного слогом ар, от слова аритмос — «число». Начало сло­ва изос (равные) заменено ис или i, что у него обозначает «равенство». Вычитание он обозначал знаками р или ↑.

Вот запись уравнения из «Арифметики» Диофанта, кото­рое мы записываем как 8х³ - 16х² = х³:

Труды Диофанта долгое время оставались неизвестными для широкого круга математиков и по­этому не оказали заметного вли­яния на развитие символов — языка алгебры.

В первом алгебраическом трак­тате аль-Хорезми буквенная сим­волика отсутствовала, поэтому и в трудах европейских математи­ков символика появилась гораздо позже.

Значительный вклад в разви­тие языка алгебры — символики внес француз Франсуа Виет (1540 — 1603). Юрист по образова­нию, Виет служил при дворе Ген­риха IV. Математикой занимался в часы отдыха. Ознакомившись с учением Коперника, Виет заинте­ресовался астрономией и решил написать обширный астрономиче­ский трактат, но для этого надо было глубоко знать математику. Занявшись изучением математики, он выполнил ряд алгебраичес­ких исследований, разработал символику в алгебре, но трактата по астрономии так и не написал.

Франсуа Виет.

Во время войны Франции с Ис­панией Виет оказал большую услугу своей родине — он рас­шифровал весьма важное письмо испанского двора. Правители Ис­пании, письмо которых было пере­хвачено, даже не допускали мы­сли, что такой сложный шифр мо­жет быть раскрыт. Впоследствии они приписали раскрытие их шиф­ра волшебству чародея.

В работе «Введение в аналити­ческое искусство» Виет изложил усовершенствованную им теорию уравнений с применением изобре­тенных символов. В названном

трактате Виет использовал алге­браические выкладки при рас­смотрении вопроса геометрии.

Виет ввел в алгебру общую сим­волику. Числовые коэффициенты он стал обозначать согласными буквами и придумал новый тер­мин— коэффициент, позаимство­вав из латинского языка слово coefficiens — «содействующий». Знаки + и - он употреблял в сов­ременном значении, неизвестные обозначал гласными буквами ла­тинского алфавита, а вместо А² писал: «А квадратное»; знак ра­венства записывал словом. Выра­жение х³ + 3bх = 2 с у Виета выгля­дело так:

Acubus + Bolano 3in A, aequari Z2 solido 2

Дальнейшее значительное усо­вершенствование алгебраичес­кой символики принадлежит Рене Декарту. Он ввел для обозначе­ния коэффициентов строчные буквы латинского алфавита: а, b, с и т. д., а для обозначения неиз­вестных — последние буквы того же алфавита — х, у, z... Это ново­введение получило широкое распространение в работах матема­тиков и с небольшими измене­ниями сохранилось до наших дней.

Пользуясь символами Декарта, выражение x³ + px+q = 0 нужно записать так: x³ + px + q ∞ 0. В этой записи уже и слово равно замене­но символом ∞.

После Декарта усовершенство­вание языка алгебры не закончи­лось — оно продолжается.

Упражнения и задачи

1. «Из множества чистых цветков лото­са были принесены в жертву: Шиве — третья долю этого множества, Вишну — пятая и Солнцу — шестая; четвертую до­лю получил Бхавани, а остальные 6 цвет­ков получил уважаемый учитель. Сколь­ко было цветков?» (Задача Бхаскары.)

Ответ: 120 (40 + 24 + 20 + 304 - 6 = 120).

2. «Некто сказал другу:

— Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое бо­гаче тебя.

Друг ответил:

— Дай ты мне только десять, и я стану в 6 раз богаче тебя.

Сколько было у каждого?» (Задача Бхаскары.)

Ответ: 40; 170.

3. «Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку за­платил 1/5 часть всех своих денег, за дру­гую — 3/7 остатка от первой покупки, за третью игрушку заплатил 3/5 остатка от второй покупки; а по приезде в дом нашел остальных в кошельке денег 1 руб. 92 коп. Спрашивается: сколько в кошельке денег было и сколько за которую игрушку денег заплачено?» (Задача Магницкого из «Арифметики».)

Ответ: 10 рублей 50 копеек (2 руб. 10 коп. + 3 руб. 60 коп.+ 2 руб. 88 коп. + 1 руб. 92 коп. = 10 руб. 50 коп.).

4. «Идет человек от града в другой град, а идет на день по 40 верст, а другой человек идет из другого града в против первого человека, а идет по 30 верст на день. Между же городами 350 верст, и ведательно есть, в колико дней сойдутся оба человека и колико который человек ушел до встречи». (Задача Магницкого. Решить составлением уравнения.)

Ответ: За 5 дней; 200 верст прошел один, а второй — 150 верст.

5. «В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фаза­нов и кроликов». (Древняя китайская за­дача.)

Ответ: 23 фазана; 12 кроликов.

6. «— Скажи мне, знаменитый Пифа­гор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

— Вот сколько, — ответил философ. — Половина изучает математику, чет­верть — музыку. Седьмая часть пребы­вает в молчании, и, кроме того, есть еще три женщины». (Задача из «Греческой антологии»). (Указание. Решить уравнением:

Ответ: Всего школу посещали 24 человека; из них математикой занимались 14, музыкой - 7, находились в молчании 4 человека.