ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УЧЕБНИКА

Учебник математики для 2 класса (в двух частях) является продолжением гуманитарно-ориентированного курса математики для 1 класса, представленного в учебнике «Математика. 1 класс», который вышел в серии «Академический школьный учебник» и получил гриф «Допущено Министерством образования и науки РФ»1.

Данный учебник — главная составная часть учебно-методического комплекта по математике для 2 класса четырехлетней начальной школы2, которая адресована непосредственно ученику.

Содержание учебника полностью соответствует действующему Государственному образовательному стандарту общего образования и отвечает идеям новой концепции начального образования «Перспектива» (автор концепции Л. Ф. Климанова), направленной на реализацию культурно-исторического принципа в обучении. Использование этого принципа в обучении математике позволяет, во-первых, установить должную преемственность в содержании обучения математике и выборе методических подходов его реализации в образовательном процессе, а во-вторых, найти наиболее оптимальный путь формирования у детей основных понятий начальной математики: число, геометрическая фигура и величина.

В учебнике содержатся основные сведения по математике, необходимые для полноценного усвоения курса и развития интеллектуальных и творческих способностей учащихся.

Как и в учебнике для 1 класса, в данном курсе выделены следующие содержательные линии: арифметика целых неотрицательных чисел и величин, геометрические фигуры и их свойства, модели и алгоритмы, математический язык и логика. Главной по-прежнему является линия арифметики целых неотрицательных чисел и величин.

В 1 классе учащиеся уже познакомились с числами от 1 до 20 и числом 0: их названиями, записью, последовательностью в натуральном ряду и составом, изучили таблицу сложения однозначных чисел, научились складывать и вычитать числа в пределах 20 без перехода через десяток. Поэтому дальнейшее развитие арифметической линии во 2 классе предполагает: а) введение новых действий — умножения и деления (знакомство с конкретным смыслом этих действий, с названиями их компонентов и результатов, с переместительным свойством умножения, с взаимосвязью между компонентами и результатом каждого действия; изучение таблицы умножения в пределах 20); б) расширение числового множества до 100, изучение устных и письменных приемов сложения и вычитания натуральных чисел в пределах 100, случаев умножения и деления с круглыми десятками.

Порядок введения этого материала во 2 классе следующий: сначала учащиеся знакомятся со смыслом действий умножения и деления, рассматривают табличные случаи в пределах 20 и учатся решать простые задачи на знание конкретного смысла действий умножения и деления.

Параллельно с этим в данный период идет интенсивная отработка табличных случаев сложения однозначных чисел, знания состава чисел в пределах 10, повторение случаев сложения и вычитания в пределах 20, закрепление умения решать основные типы простых и составных задач за курс 1 класса. С этой целью вводятся новые типы заданий и упражнений, выполнение которых требует от учащихся не только активизации в памяти изученных ранее алгоритмических процедур, но и большей самостоятельности, что обеспечивает прочное усвоение таблицы сложения, состава числа, совершенствование вычислительных навыков и должный контроль знаний. В отличие от первого года обучения во 2 классе требование знания табличных случаев сложения и вычитания с переходом через десяток становится основным.

Одновременно и в тесной связи с изучением действий умножения и деления рассматриваются и другие вопросы, связанные с измерением величин, ознакомлением с геометрическими фигурами (луч, угол, ломаная, многоугольник) и их свойствами. Кроме того, вводится понятие длина ломаной, предлагаются задачи на ее вычисление. На этот материал отведено все первое полугодие 2 класса.

Основными вопросами программы второго полугодия 2 класса являются изучение устной и письменной нумерации чисел от 21 до 100, усвоение устных и письменных приемов сложения и вычитания в пределах 100, знакомство с умножением и делением круглых десятков, закрепление знания таблицы умножения до 20 и соответствующих случаев деления, изучение переместительного свойства умножения, раскрытие взаимосвязи действий умножения и деления, введение понятия задачи, обратной данной, решение задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, решение составных задач в два действия, пропедевтика задач в три действия и задач на кратное сравнение.

Наряду с арифметическим материалом в этом полугодии вводится новый геометрический материал: формируются представления о прямом угле, периметре многоугольника, даются определения прямоугольника и квадрата. Кроме того, в связи с изучением чисел от 21 до 100 вводится новая единица времени — минута, показывается ее краткое обозначение и устанавливается соотношение 1 ч = 60 мин.

Отметим, что согласно принятой программе расширение понятия числа осуществляется поэтапно: новые виды чисел вводятся постепенно в ходе разрешения задачи счета (и измерения величин) в новых видоизмененных условиях. В этом смысле разумеется, что прочные вычислительные навыки по-прежнему остаются наиважнейшими в предлагаемом курсе. Кроме того, даже выбор остального учебного материала подчинен решению именно этой главной задачи — отработке техники вычислений.

Во 2 классе продолжается работа над величинами. В 1 классе учащиеся уже познакомились с такими величинами, как длина (отрезка), масса и емкость, время, и с некоторыми единицами их измерения (сантиметром, дециметром, килограммом, литром, часом), научились пользоваться неоцифрованной линейкой при вычерчивании отрезков и линейкой с сантиметровыми делениями при их измерении.

Во 2 классе эти знания обобщаются и систематизируются. Учащиеся знакомятся с новой единицей длины — метром и изучают соотношения между единицами длины. Кроме того, в учебнике даются исторические сведения о происхождении различных мер длины, рассматриваются старинные меры длины: верста, сажень, фут, пядь и др., предлагаются задачи на усвоение этого материала. Знание истории развития единиц измерения обеспечивает должную мотивацию в изучении последующего материала и подчеркивает связь математики с жизнью.

В конце второго года обучения учащиеся знакомятся с новой единицей времени — минутой, учатся измерять время в часах и минутах, решать несложные задачи на определение времени, выполнять действия с именованными числами как устно, так и письменно (столбиком).

Геометрические фигуры и их свойства

Как и в 1 классе, отбор геометрического материала произведен с целью создания более широкого круга геометрических представлений, необходимых для развития пространственного мышления и формирования на этой основе начальных понятий о геометрических фигурах и их свойствах. Во 2 классе учащиеся знакомятся с такими понятиями, как луч и направление, угол, ломаная, многоугольник, прямой угол, их обозначениями и свойствами. Кроме того, уточняются представления учащихся о прямоугольнике и квадрате, вводится определение понятия прямоугольника, формируется понятие точки пересечения линий.

Принятая в учебнике система обучения математике опирается на наиболее развитые для младшего школьного возраста эмоциональный и образный компоненты мышления ребенка и предполагает формирование обогащенных геометрических представлений и знаний на основе организации интеллектуально-практической деятельности с конкретными предметами и опорой на жизненный опыт учащихся, использования широкой интеграции математики с другими областями знания и культуры. С этой целью в учебник включены разнообразные практические задания на восстановление и переконструирование фигур, задачи-лабиринты, упражнения на построение уникурсальных линий и пр.

Математический язык и логика

Продолжение этой линии во 2 классе, как и прежде, предполагает ознакомление учащихся с этимологией изучаемых математических терминов, объяснение роли знаков действий в математических выражениях, обучение грамотному чтению математических текстов, умениям выделять в них смысловые части, правильно расставлять логические ударения, грамотно употреблять на письме вводимые сокращения, а также формирование умения переводить текст, выраженный в словесной или графической форме, на язык символов и наоборот и т. д.

Как и в учебник для 1 класса, в данный учебник включены специальные упражнения на развитие речевых умений учащихся: «Рассмотри пример и рисунок. Попробуй объяснить, как выполнили действия», «Составь задачу по рисунку (схеме)», «Придумай вопрос к данному условию», «Объясни и дорисуй схему к задаче» и т. д. Особенно следует отметить специально подобранные упражнения занимательного характера на развитие логики рассуждений, которые включены в учебник для 2 класса. Систематическая работа с этими заданиями положительно сказывается на развитии начал критического мышления, умении рассуждать и обосновывать выводы.

Модели и алгоритмы

В содержание данного блока для 2 класса вновь вошли вопросы, связанные с выяснением свойств и признаков геометрических фигур, планированием действий, обучением моделированию и схематизации отношений.

Во 2 классе вводятся понятия числовое выражение и значение числового выражения. При этом если в 1 классе учащиеся вычисляли значения числовых выражений без скобок, содержащих только действия второй ступени (сложение и вычитание), то во 2 классе вводятся скобки, рассматриваются арифметические действия двух ступеней, вводится понятие порядка выполнения действий в выражениях без скобок, которые содержат действия обеих ступеней, и в выражениях со скобками.

При изучении приемов сложения и вычитания с числами от 21 до 100 вводятся письменные способы вычислений столбиком, подробно рассматривается соответствующий алгоритм оформления записи и выполнения действий.

Основная задача линии моделей и алгоритмов на этом этапе состоит в том, чтобы наряду с умением правильно проводить вычисления сформировать у учащихся умения оценивать алгоритмы, которыми они пользуются, анализировать их, видеть наиболее рациональные способы действий и объяснять их.

Особенности курса

1. Как и в учебнике для 1 класса, в учебнике для 2 класса находит дальнейшую реализацию теоретико-множественный подход к введению понятия натурального числа и действий над числами. На основе уже сформированных представлений о множестве, его элементах, равенстве множеств, выделения из множества его части и разбиения множества на классы учащиеся естественным образом подводятся к пониманию смысла действий умножения и деления, осознанию способов образования и называния чисел от 21 до 100, уяснению их порядка в натуральном ряду.

Согласно принятой системе упражнений, как и в 1 классе, введение новых арифметических действий и расширение понятия натурального числа формируются на основе понятия множество, геометрическая фигура также рассматривается как множество точек, а измерение величин — как операция установления соответствия между реальными предметами и множеством чисел. В частности, теоретико-множественная точка зрения сказывается и в нашем подходе к изучению умножения и деления чисел. Ознакомление с действием умножения начинается с решения задач на определение численности объединения равномощных множеств, а деление рассматривается как разбиение множества на заданное число равномощных подмножеств (или на определение количества подмножеств заданной мощности). Однако при этом сами термины множество и подмножество не используются, а заменены синонимами, адекватными контексту задачи с более понятным ребенку практическим содержанием.

Наглядная иллюстрация к задачам в виде схем, чертежей или рисунков конкретизирует отвлеченные рассуждения о множествах предметов. В случае с умножением учащиеся сразу же обнаруживают, что искомое число можно представить в виде суммы определенного числа одинаковых слагаемых. Так, собственно, и озаглавлен соответствующий урок. Затем в учебнике используется обычная трактовка умножения. Вместе с тем при введении двух случаев деления — по содержанию и на равные части — работа с конкретными множествами в виде схематических рисунков в теоретико-множественном контексте продолжается достаточно долгое время, что помогает учащимся лучше осознать конкретный смысл этого действия.

2. В курсе математики 2 класса продолжена работа по обучению учащихся приемам моделирования и схематизации. Этой цели служат разнообразные задания на анализ и построение схем, чертежей и рисунков к тексту задачи, упражнения с использованием числового луча, задания на составление задач по краткой записи, схематическому рисунку, чертежу и т. д.

Такая методика дает возможность более полноценно проводить работу по развитию речи учащихся, формированию навыков логического мышления. Использование схем в качестве новой наглядной иллюстрации текстовых задач на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз помогает второкласснику легче устанавливать связи между данными и искомыми и вместе с тем одинаково свободно проводить рассуждения как в прямой, так и в косвенной форме.

3. Предложен особый подход к изучению приемов умножения и деления в пределах 20. Суть предлагаемой методики состоит в том, что второклассникам еще до ознакомления с действиями умножения и деления предлагается решать примеры с помощью числового луча на нахождение суммы одинаковых слагаемых и деление по содержанию и на равные части. При этом демонстрируется не просто результат, но и сам алгоритм вычислений. «Шагая» по числовому лучу в соответствии с заданным маршрутом, учащиеся начинают предметно ощущать способ действия, а поэтому легко понимают смысл действий умножения и деления.

Использование игровых заданий с числовым лучом позволяет уже на начальном этапе предлагать учащимся достаточно сложные примеры, формировать у них глубокое понимание взаимосвязи действий умножения и деления, подготавливать учеников к открытию соответствующих способов вычислений, решению задач на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз. Кроме того, эта работа служит хорошей пропедевтикой задач на кратное сравнение, которые будут рассмотрены в 3 классе.

Работа с числовым лучом не только способствует развитию зрительного аппарата учащихся, пространственных и логических умений, но и, что особенно важно, обеспечивает закрепление в сознании ребенка конкретного образа алгоритма действий, правила.

В данном курсе, как и в 1 классе, продолжает действовать трехэтапная методика формирования вычислительных навыков: а) вычисления с помощью предметных множеств и числового отрезка (уровень восприятия); б) отвлеченные вычисления (уровень представлений); в) формулирование правила вычислений (уровень объяснений).

Благодаря такой «тройной» прокрутке материала обеспечивается формирование осознанных и прочных вычислительных навыков.

Иными словами, дети учатся выполнять действия сначала на уровне восприятия конкретных количеств, затем на уровне накопленных в их сознании представлений о количестве и, наконец, на уровне объяснения применяемого алгоритма вычислений.

4. Продолжена целостная система работы с текстовой задачей, которая включает в себя закрепление представлений о задаче и ее структуре, использование разнообразных моделей отношений: больше на ..., меньше на ..., больше в ..., меньше в ... и т. д., решение цепочек простых задач и задач по аналогии, сравнение взаимно обратных задач и их решений и др.

Во 2 классе продолжается линия на овладение детьми умением работать с текстом задачи. Основными направлениями работы в этом плане являются: а) задания на выявление в тексте элементов задачи; б) постановка вопроса к задаче; в) дополнение условия задачи числовыми данными или ключевыми фразами в заданном контексте; г) установление зависимости ответа задачи от изменения какого- либо числового данного в ее условии; д) сравнение задач по фабуле, по способу решения; е) составление задачи по ее краткой записи, рисунку, чертежу, условию, вопросу, числовым данным, решению и т. п.

Умение работать с текстом задачи, выделять главное, устанавливать связи между данными и искомым во многом определяется умением работать с такими различными моделями задачи, как чертеж, краткая запись, рисунок и пр. Это умение эффективно формируется в том случае, когда дети самостоятельно и сознательно проходят весь путь сокращения текста задачи до полного исключения из него всех необязательных слов (или дополнения его частью условия, вопросом, числовыми данными), а не получают в готовом виде конечный результат этого процесса. С этой целью в учебник включены задачи с избыточными и недостающими данными. Усиленное внимание к процессу вычленения задачной ситуации из данного сюжета способствует преодолению формализма в знаниях учащихся, более глубокому пониманию внешней и внутренней структуры задачи, развитию понятийного и абстрактного мышления. Задача становится для ребенка не искусственным порождением, а упражнением, составленным по понятным ему законам и правилам.

5. В отличие от учебника для 1 класса, в который задания на сообразительность были включены лишь изредка, в данном учебнике линия задач на смекалку обозначена явно и целостно. Согласно авторской концепции для воспитания творческой личности особенно важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников, помимо алгоритмических умений и навыков, зафиксированных в стандартных правилах и способах действия, вошли эвристические приемы как общего, так и конкретного характера. Владение этими приемами необходимо для самостоятельного управления процессом решения творческих задач, применения знаний в новых, необычных ситуациях.

Задачи этого вида выделены в учебнике специальным знаком (*) и, как правило, помещены в конце каждого урока. Эти задачи вполне по силам второклассникам независимо от их различий в уровне общей и математической подготовки. Систематическая работа с этими задачами на уроках математики способствует как более глубокому усвоению знаний, так и закреплению умений пользоваться эвристическими приемами: перебором, методом проб и ошибок, реконструкцией целого по части, рассуждениями по аналогии и т. д.

Среди задач на сообразительность есть комбинаторные задачи, логические задачи, задачи на классификацию и нахождение числовых закономерностей, а также старинные и занимательные задачи, задачи геометрического содержания и текстовые задачи на смекалку.

Так, для развития пространственных представлений учащихся введены специальные задания на построение фигур одним росчерком, на составление фигур из частей квадрата, задачи-лабиринты. Как правило, эти задачи могут быть решены не единственным способом, но, чтобы его найти, учащимся придется проявить находчивость и изобретательность. Практика показывает, что при решении этих задач создаются благоприятные условия для проявления инициативы и самостоятельности учащихся, развития их творческого потенциала и интереса к предмету.

---

1 См.: Математика: учеб. для 1 кл. нач. шк.: в 2 ч. / Г. В. Дорофеев, Т. Н. Миракова; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». — М.: Просвещение, 2007.

2 Комплект учебно-методических пособий по математике для 2 класса начальной школы авторов Г. В. Дорофеева и Т. Н. Мираковой состоит из учебника «Математика. 2 класс» (в двух частях), пособий для учащихся «Математика. Рабочая тетрадь» (№ 1, 2) и пособия для учителей «Уроки математики. 2 класс».