Занимательная теория вероятности - Китайгородский А.И. 2017
Частицы, из которых построен мир
О скоростях автомобилей и молекул
Лет шестьдесят назад последний естествоиспытатель отбросил сомнения и поверил в существование молекул. Но зародилась молекулярно-кинетическая теория значительно раньше. Некоторые даже считают, что она старше 2000 лет и ведет отсчет от Демокрита. Если же, как говорилось выше, за теорию считать собрание постулатов, следствия которых могут быть количественно проверены на опыте, то началом эры молекулярно-кинетической теории является XIX век. Именно тогда Клаузиус и Джоуль показали, что огромная совокупность явлений становится предсказуемой, если принять, что законы теории вероятностей применимы к частицам, из которых построен мир, и что средняя кинетическая энергия беспорядочного движения молекул пропорциональна температуре.
К моменту, когда Перрен опубликовал свою работу, общие черты теории, представлявшей собой сплав теории вероятностей с молекулярными представлениями (этот сплав и получил название молекулярно-кинетической теории), уже были обрисованы в различных статьях и книгах. И почти все, что писалось в них по этому поводу, оказалось, как мы сейчас покажем, вполне справедливым.
Газ есть скопище молекул — крошечных телец, размером в десятимиллионные доли сантиметра. Молекулы движутся беспорядочно, сталкиваясь друг с другом и со стенками сосуда. Эти удары и, как уже говорилось, создают давление газа.
Газ — весьма разреженное состояние вещества. Среднее расстояние между молекулами газа при обычных температуре и давлении раз в 20 больше линейного размера молекулы. Движутся молекулы очень быстро — средние скорости их примерно равны километру в секунду.
Одной из первых задач, которую решила теория вероятностей для молекулярной физики, была задача о распределении молекул по скоростям. Сделал это замечательный английский физик Клерк Максвелл.
Распределение молекул по скоростям может быть представлено (описано) таблицей или кривой. Оно даст нам сведения о том, какая доля молекул обладает той или иной скоростью.
Чтобы изобразить распределение скоростей графически, мы откладываем по горизонтальной оси значения скоростей, а по вертикальной — количество (в процентах) движущихся с этой скоростью молекул. Полученная кривая характеризует, разумеется, мгновенное состояние газа.
Кривая распределения скоростей принадлежит к типу статистических кривых, с которыми мы уже неоднократно сталкивались. Тем не менее у нее есть особенности, заслуживающие внимания.
Положим, речь идет не о молекулах, а об автомобилях на улице Горького в Москве. Ровно в 12:00 зафиксированы скорости всех автомобилей. Часть их стоит, часть медленно движется со скоростью 10 километров в час, проклиная пассажиров, которые сгрудились на проезжей части дороги и мешают проезду через перекресток. Какие-то машины перемещаются со скоростями 20, 30… 60 километров в час. Процент водителей, нарушающих правила уличного движения и едущих со скоростями 70, 80 и даже 100 километров в час, окажется немалым, особенно подальше от автоинспекторов. Если посмотреть на этом автодорожном материале график распределения автомобилей по скоростям, то мы увидели бы наверняка, что получилась кривая с максимумом около 40 километров в час, (кстати, с большей средней скоростью днем по Москве и не проехать).
При построении графика скоростей обратите внимание на то, как понимать скорость, равную, скажем, 50 километрам в час. Под ней можно подразумевать все скорости от 45 до 55, если же требуется описать движение поточнее, тогда берут меньший интервал, например от 49 до 51. Точность не может быть беспредельной, и интервал «от — до» всегда молчаливо подразумевается, говорим ли мы о проценте людей, имеющих такой-то рост, о проценте доменных печей такой-то производительности или о таком-то проценте молекул или автомобилей, имеющих такую-то скорость. Впрочем, об этом мы уже говорили.
Без сомнения, распределение скоростей автомобилей подчиняется каким-то закономерностям. Закономерности эти очень сложные, и кривые будут разными для разных улиц, разной погоды, разного времени дня и года.
Что же касается кривой распределения молекул по скоростям, то она обладает тем выдающимся свойством, что зависит только от температуры и от массы молекул. Как выглядит кривая распределения скоростей для молекул заданной массы при данной температуре и что делается с кривой распределения, когда меняется температура, показал Клерк Максвелл.
Очень хотелось бы рассказать, как Максвелл произвел соответствующее вычисление, показать, что кривая Максвелла сродни гауссовой кривой, и продемонстрировать умение его просто объяснять сложные вещи. Однако воздержимся. Во-первых, это увело бы нас в сторону от темы нашей беседы и исказило бы гармонические пропорции книги, которые мы стремимся ей придать. Во-вторых, педагогический опыт подсказывает, что лишь небольшой процент читателей любит долго и упорно следовать за разматыванием логической нити научного открытия.
Но о результатах этого вычисления поговорить надо. Как должна выглядеть кривая, достаточно очевидно. Как и в случае с автомобилями, имеется небольшой процент молекул, движущихся очень быстро (они подверглись случайно серии попутных ударов); есть небольшой процент почти покоящихся молекул (они замедлились лобовыми ударами соседей); и больше всего будет молекул, имеющих скорость, близкую к средней. Почему близкую, а не равную? Здесь есть одна интересная тонкость.
Максимум кривой распределения попадает на то значение, которое встречается наиболее часто. Совпадает ли среднее значение с наиболее часто встречающимся, то есть с наиболее вероятным значением? Да, но только в тех случаях, когда отклонения «влево» и «вправо» одинаково вероятны. А это, конечно, будет не всегда.
Случай кривой распределения молекул по скоростям в этом отношении вполне ясен. От вершины кривой «влево» мы можем двигаться лишь до нуля. В сторону же больших скоростей (вправо) можно двигаться неограниченно далеко, по крайней мере в принципе. Кривая Максвелла получается несимметричной, и точные подсчеты показывают, что средняя скорость больше наиболее вероятной именно по той причине, что хвост кривой «вправо» тянется дальше, чем «влево».
Самым замечательным обстоятельством во всем этом деле является то, что кривая распределения молекул по скоростям при определенной температуре для данного газа остается все время неизменной. Сказанное вовсе не самоочевидно. Что значит неизменность кривой? Это означает то, что доля молекул, обладающих определенной скоростью, все время остается неизменной. А почему, собственно говоря, так должно быть? Ведь мы же говорим о полном хаосе, о полном беспорядке в движении молекул. Почему нельзя представить себе, что случайно в какое-то мгновение все молекулы замедлились или случайно остановились, в другой момент все убыстрились и движутся со скоростями, лежащими между одним и двумя километрами в секунду?
Представить можно. Но дело в том, что все события такого рода обладают настолько ничтожной вероятностью, что мы вправе считать их абсолютно невозможными.
В работе Максвелла рассчитывается, конечно, среднее число молекул, обладающих какой-либо одной скоростью. Колебания около средних цифр — в науке это называется флуктуацией, — разумеется, существуют. Однако они настолько малы, что в обычном опыте обнаружить их невозможно.
Почему же, несмотря на беспорядочность движения, доля молекул, обладающих какой-либо одной скоростью (например, от 500 до 501 метра в секунду) практически неизменна? Отвечает на этот вопрос закон больших чисел. Все дело в том, что для газа, находящегося в нормальных условиях, среднее число этих молекул (то есть обладающих скоростью от 500 до 501 м/сек) огромно и в одном кубическом сантиметре их число измеряется единицей с шестнадцатью нулями (1016). Согласно же закону больших чисел отклонения от среднего будут обратно пропорциональны корню квадратному (1/√1016 = 10-8) из числа молекул. Так что флуктуации измеряются стомиллионными долями даже для такого узкого интервала скоростей, как один метр в секунду (501—500). Это и значит, что кривая Максвелла остается неизменной.
Огромное число молекул, содержащееся в крошечном по сравнению с размерами физических приборов объеме, приводит к тому, что все физические свойства вещества имеют практически неизменные значения при постоянных условиях.
Роль этого обстоятельства фундаментальна. Жизнедеятельность любого существа возможна лишь при условии, что размеры его органов восприятия внешнего мира в колоссальное число раз превосходят размеры молекул. Так что огромное число молекул, образующих тела, есть непременное условие жизни. Предположите существование организма, всего лишь в сто раз превосходящего по своим размерам молекулу газа. Сразу же ясно, что такое предположение абсурдно. Действительно, для выдуманной нами «микроамебы» были бы существенными флуктуации плотности, температуры, давления в объеме, занятом сотней молекул. Флуктуации в этом случае равны 10 процентам (1/√100 = 1/10). А как мы знаем (сравните, пожалуйста, с. 81), отдельные отклонения могут достигать величины в три-четыре раза большей. Значит, «микроамебе» пришлось бы приспосабливаться к жизни в условиях, соответствующих беспрерывному случайному колебанию температуры и давления в пределах ± 30—40 процентов. Попробуйте существовать, если температура скачет каждую секунду примерно от — 100 градусов до + 100! А наша «микроамеба» так же воспринимала бы удары всего лишь нескольких быстрых молекул.
Мы с вами живем в мире, где в одном кубическом сантиметре воздуха находится свыше 1019 молекул. Поэтому не только наши органы чувств, но и отдельные клетки, из которых они построены, состоят из миллиардов атомов.
Восприятия мира живым организмом обязаны сумме огромного числа случайных событий. И посему для нас с вами окружающая среда кажется неизменной: флуктуаций мы не замечаем. Так закон больших чисел превращает случайное в необходимое.