Уроки геометрии в задачах 7—8 классы - М. А. Волчкевич 2016

Углы

развернутый угол

1-й плоский угол

2-й плоский угол

Геометрическим углом называют два луча, выходящих из одной точки. Данные лучи называются сторонами угла. Если стороны угла дополняют друг друга до прямой, то угол называют развернутым.

Плоским углом называют геометрический угол вместе с одной из двух областей, на которые он делит всю плоскость.

Биссектрисой угла называется луч, выходящий из его вершины и делящий данный плоский угол на два угла с равной градусной мерой.

Перпендикуляром к данной прямой называется прямая, образующая при пересечении с данной прямой углы 90°.

Углы называются смежными, если они имеют общую сторону, а две другие их стороны дополняют друг друга до прямой.

Углы называются вертикальными, если их стороны соответственно дополняют друг друга до двух прямых.

биссектриса угла

смежные углы

вертикальные углы

перпендикуляр

Аксиомы УГЛОВ

1. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол по определению равен 180°.

2. Градусная мера плоского угла равна сумме градусных мер углов, на которые он делится любым лучом, выходящим из его вершины.

3. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только одним способом.

1. Один из двух смежных углов на 30° больше другого. Найдите величину меньшего из этих углов.

2. Найдите угол между биссектрисами двух смежных углов.

3. Нарисуйте произвольный треугольник. Проверьте с помощью транспортира, что один из его углов не превосходит 60°.

4. Два угла с величинами 20° и 50° имеют общую сторону. Какой угол могут образовывать две другие их стороны? (Считайте, что все углы меньше развернутого.)

5. Докажите, что из точки, лежащей на прямой, можно восстановить к ней только один перпендикуляр.

6. В вершине угла, равного 70°, восстановлены лучи, перпендикулярные к его сторонам, как показано на рисунке. Найдите угол между этими перпендикулярами.

7. (Теорема.) Докажите, что вертикальные углы равны.

8. Три прямые пересекаются в одной точке так, что отмеченные на рисунке углы равны. Найдите величину отмеченных углов.

9. Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

10. Три луча выходят из одной точки и образуют три угла, каждый из которых меньше развернутого. Величина одного из них равна 100°. Найдите угол между биссектрисами двух других углов. Внимание: у задачи может быть несколько решений!

11. Из точки О в указанном порядке выходят лучи ОА, ОВ, ОС и OD. Известно, что сумма углов АОВ и COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов АОС и BOD перпендикулярны.

12. Лист бумаги перегнули по прямой линии и сложили так, как показано на рисунке. Один из получившихся углов оказался равен 50°. Найдите другой угол.

13. На какой угол за одну минуту поворачивается минутная стрелка часов?

14. Найдите угол между часовой и минутной стрелками в

а) 9 часов 30 минут; б) в 10 часов 40 минут.

15. Найдите первый момент времени после 9:00, когда стрелки часов образуют угол 156°.

16. Предположим, что сумма углов во всех треугольниках одинакова. Используя данный чертеж, докажите, что тогда она обязана равняться 180°.

17. Первый раз после 9:00 часовая и минутная стрелки исправных часов лежат на одной прямой. Что в этот момент показывает секундная стрелка?

*18. Петя измерил угол между часовой и минутными стрелками. Через полчаса он снова его измерил и оказалось, что угол не изменился! Чему мог быть равен этот угол?