ГЕОМЕТРИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ЗЕРКАЛ - 8 класс

Интеграция предметов: физика — геометрия.

Пояснительная записка:

1. Объяснение материала ведет учитель с двумя помощниками: Почемучкой и Умником.

2. По ходу объяснения нового материала Почемучка задает вопросы, на которые отвечает учитель или Умник.

3. После объяснения нового материала все учащиеся пишут тесты на 2-3 варианта.

4. Тесты проецируются с помощью кодоскопа на экран. В каждом варианте тестов по 5 вопросов.

Ход урока

Почемучка. Я побывал в комнате смеха, увидев себя в зеркале, невольно начал смеяться. Представьте: толстый может быть худым и длинным, а тонкий, худой может быть толстым и маленьким. Человек преобразуется на глазах, но почему?

Умник. Потому что зеркала кривые, вот и изображение тела в зеркале будет искаженным.

Учитель. Давайте разберемся поподробнее во всем этом.

Сферическое зеркало представляет собой поверхность шарового сегмента, зеркально отражающего свет.

Почемучка. Но зеркала бывают и выпуклые и вогнутые.

Учитель. Верно. Если отражение идет от внутренней поверхности сегмента, то зеркало вогнутое; если от внешней, то зеркало выпуклое. Давайте посмотрим (рис. 1).

Рис. 1

Умник. Тогда согласно закону отражения света лучи будут такими зеркалами или собираться или рассеиваться.

Учитель. Это верно. Вогнутое зеркало собирает лучи света, выпуклое — рассеивает. Но обратите внимание на точку О.

Умник. Это центр воображаемой сферы.

Учитель. Центр О сферы называют оптическим центром зеркала, а вершину С — полюсом зеркала. ОВ = ОС = R — радиус кривизны сферического зеркала.

Учитель. Любую прямую, проходящую через оптический центр О, называют оптической осью.

Почемучка. Но ведь можно провести много таких прямых через точку О?

Учитель. Да, много. Но оптическая ось, проходящая через полюс зеркала и оптический центр, называется главной оптической осью.

Почемучка. Значит ОС — это главная оптическая ось и она одна?

Учитель. Да. Обратите внимание, диаметр окружности, ограничивающей зеркало, называют отверстием зеркала. Или угол а, образуемый двумя лежащими в одной плоскости с осью радиусами, проведенными к краям зеркала, называется апертурой.

Учитель. Если на вогнутое зеркало пустить пучок лучей света, параллельных главной оптической оси, то что получим?

Умник. Лучи отразятся от зеркала и сойдутся в точке, лежащей на главной оптической оси. Если в эту точку поместить какое-либо тело, то оно будет сильно нагреваться, а легко воспламеняющиеся вещества могут даже загореться.

Почемучка. Так по этой причине такие зеркала называют собирающими?

Учитель. Да. Давайте посмотрим (рис. 2).

Рис. 2

Учитель. Точка Ф, в которой пересекаются лучи, параллельные главной оптической оси, называются главным фокусом. У вогнутого зеркала фокус действительный, у выпуклого — мнимый, так как пересекаются продолжения отраженных лучей.

СФ — фокусное расстояние (F). У вогнутого оно (+F), у выпуклого (-F).

Почемучка. А если пучок света пустим не параллельно главной оптической оси?

Учитель. Они также соберутся в точке, но уже не на главной оптической оси. Давайте посмотрим (рис. 3).

Рис. 3

Учитель. Плоскость MN, проходящая через главный фокус зеркала перпендикулярно главной оптической оси, называют фокальной плоскостью.

Умник. Мне кажется, что главный фокус лежит на середине радиуса. Так ли это?

Учитель. А давайте докажем (рис. 4).

Рис. 4

Учитель. Пусть луч SA падает параллельно главной оптической оси. После отражения он пойдет по пути АФ. Соединим точку А и О. Из закона отражения света ∠1 = ∠2. Так как SA || ОС, то ∠1 = ∠3 как углы накрест лежащие.

Умник. Следовательно, ∠2 = ∠3 и треугольник АФО равнобедренный, АФ = ФО.

Учитель. Но так как ОС = ОА, то АФ = ФС, тогда ОФ = СФ, значит точка Фделит R(OC) пополам. Тогда F = R/2.

Почемучка. Значит я верно уяснил, что для любого сферического зеркала фокусное расстояние равно половине радиуса сферы.

Учитель. Но это еще не все. Давайте выведем формулу сферического зеркала.

Обозначим: d — расстояние от предмета АВ до зеркала (ВС); f — расстояние от изображения А'В' до зеркала (B'С); F — фокусное расстояние (СФ).

Построим ход лучей (чертится на доске) (рис. 5).

Рис. 5

Учитель. Формула сферического зеркала связывает d, f, F. Рассмотрим ΔАВФ и ΔФСС'.

Умник. Эти треугольники подобны.

Учитель. Из подобия треугольников можно составить пропорцию:

А из подобия треугольников ΔВ'А'Ф ~ ΔФСС":

Но так как АВ = СС", а А'В' = СС', тогда

И получим в результате:

Преобразуем: F2 = (d - F)(f - F).

Почленно поделив на fdF, получим:

Получили формулу сферического зеркала.

Для вогнутого зеркала:

Для выпуклого зеркала:

Умник. Знак «минус» указывает на то, что фокус мнимый. Учитель. Абсолютно верно. Но любое зеркало обладает оптической силой Это величина, обратная фокусному расстоянию.

Умник. Но ведь тогда оптическая сила может быть: где R — радиус сферы.

Учитель. Ты прав, оптическую силу можно определить и так. Почемучка. Но в чем измеряют оптическую силу? Учитель. В диоптриях. Это греческое слово, означает «наведение на цель». В системе СИ

Почемучка: Я понял, если зеркало имеет радиус кривизны 2 м, то значит зеркало имеет оптическую силу 1 дптр.

Умник. Или если фокус зеркала 1 м, то оптическая сила 1 Дптр.

Учитель. Хорошо. Попробуем определить линейное увеличение зеркала. Пусть h — высота предмета, Н — высота изображения.

Умник. Тогда увеличение будет равно H/h.

Учитель. Да. Увеличение зеркала

Поучимся строить изображения в зеркалах. Для построения изображения предмета в зеркале пользуются двумя или тремя лучами:

1) Луч (1) проводится параллельно главной оптической оси. После отражения от зеркала он проходит через главный фокус Ф.

2) Луч (2) проводится через фокус Ф. После отражения от зеркала он идет параллельно главной оптической оси зеркала.

3) Луч (3) проводится через сферический центр (О) зеркала. После отражения он идет обратно по той же прямой.

В точке пересечения отраженных лучей 1, 2, 3 получим изображение предмета.

В зависимости от расстояния d, на котором находится предмет от зеркала, возможны следующие случаи построения для вогнутого зеркала.

Расстояние от предмета до зеркала	Вид изображения
d = ∞	Действительное, в фокусе
2F < d < ∞	Действительное, перевернутое уменьшенное
d = 2F F < d < 2F	Действительное, перевернутое, равное предмету Действительное, перевернутое увеличенное
d = 2F	Изображение в бесконечности
d < F	Мнимое, прямое, увеличенное

Почемучка. А в выпуклом зеркале какие изображения мы получим?

Учитель. А в выпуклом зеркале изображение всегда мнимое, уменьшенное, прямое. Посмотрим (рис. 6).

Рис. 6

Почемучка. А если предмет (изображение) в виде точки будет на главной оптической оси, то как построить его изображение?

Учитель. Хороший вопрос, но давайте проделаем это вместе. Действительно, где будет изображение?

Умник. Оно будет на главной оптической оси.

Учитель. Верно. Но где на оси, ведь на ней может быть бесчисленное множество точек. Возьмем вогнутое зеркало и точку S на главной оптической оси. Как построить ее изображение (рис. 7)?

Рис. 7

Умник. Надо провести луч по главной оптической оси. После отражения от зеркала он пойдет обратно.

Учитель. Верно. А второй луч возьмем произвольный. Но как он отразится? Для этого проведем побочную оптическую ось OO', параллельную лучу SA. Затем проведем фокальную плоскость. Через точку Ф' пройдет отраженный луч. Точка S’ есть изображение точки S.

Почемучка. А где применяют сферические зеркала?

Умник. В прожекторах.

Учитель. И не только. Вогнутыми зеркалами пользуются в тех случаях, когда нужно направить в какое-либо место концентрированный пучок света. Вспомните легенду об Архимеде, который поджег вражеские корабли с помощью вогнутых зеркал. Но примером может служить и автомобильная фара. В фарах за источником света (лампочкой) помещается вогнутое зеркало.

В прожекторах большое вогнутое зеркало помещается сзади источника света так, чтобы источник света оказался в фокусе зеркала.

Но где применяют еще прожектора?

Умник. На стадионах.

Учитель. На строительных площадках, при киносъемках, в концертных залах. Вогнутое зеркало находит весьма важное применение при устройстве телескопов-рефлекторов.

Дома по данным таблицы постройте изображения предмета в вогнутом зеркале.

Тесты

I вариант

1. Пучок солнечных лучей падает на вогнутое зеркало и, отразившись, собирается в точке, отстоящей от зеркала на 50 см. Каков радиус кривизны зеркала?

А — 50 см;

В — 25 см;

С — 1 м.

2. Где надо поместить лампочку в автомобильной фаре, чтобы можно было направить световой поток как можно дальше?

А — в главном фокусе зеркала.

В — на расстоянии больше фокусного.

С — на расстоянии меньше фокусного.

3. Какое по величине изображение получим, если предмет находится на расстоянии двойного фокусного?

А — увеличенное.

В — уменьшенное.

С — равное предмету.

4. Как идет луч, падающий в полюс зеркала?

А — по направлению, симметричному падающему лучу относительно главной оптической оси зеркала.

В — в обратном направлении.

С — параллельно главной оптической оси.

5. Какое из сферических зеркал может давать мнимое изображение?

А — как выпуклое, так и вогнутое.

В — только вогнутое.

С — Только выпуклое.

II вариант

1. Предмет находится от вогнутого зеркала на расстоянии 0,5 м, а изображение на расстоянии 2 м. Чему равно увеличение зеркала?

А - 1;

В - 4;

С - 0,25.

2. Радиус кривизны сферического зеркала 2 м. Чему равна оптическая сила?

А — 1 Дптр;

В — 2 Дптр;

С — 4 Дптр.

3. Как идет луч, падающий по главной оптической оси, после отражения от зеркала?

А — пересекает главную оптическую ось в фокусе.

В — идет в обратном направлении.

С — отражаясь, идет в любом направлении.

4. Какое из сферических зеркал может давать как мнимое, так и действительное изображение?

А — как вогнутое, так и выпуклое.

В — только выпуклое.

С — только вогнутое.

5. Какое из зеркал может давать как уменьшенное, так и увеличенное изображения?

А — только выпуклое.

В — только вогнутое.

С — как вогнутое, так и выпуклое.

Ответы:

I в.: С, А, С, А, А.

II в.: В, А, В, С, В.