Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре - Электромагнитные колебания и волны - ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Колебательный контур — это электрическая цепь, содержащая индуктивность L, емкость С и сопротивление R, в которой могут возбуждаться электрические колебания.

Колебательный контур — один из основных элементов радиотехнических систем. Различают линейные и нелинейные колебательные контуры. Параметры R, L и С линейного колебательного контура не зависят от интенсивности колебаний, а период колебаний не зависит от амплитуды.

При отсутствии потерь (R = 0) в линейном колебательном контуре происходят свободные гармонические колебания.

Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают от батареи аккумуляторов, сообщив ему энергию Wp, и переводят переключатель в положение 2 (рис. 3.61).

После замыкания цепи конденсатор начнет разряжаться через катушку индуктивности, теряя энергию. В цепи появится ток, вызывающий переменное магнитное поле. Переменное магнитное поле, в свою очередь приводит к созданию вихревого электрического поля, препятствующего току, в результате чего изменение тока происходит постепенно. По мере увеличения тока через катушку возрастает энергия магнитного поля Wм. Полная энергия W электромагнитного поля контура остается постоянной (при отсутствии сопротивления) и равной сумме энергий магнитного и электрического полей. Полная энергия, в силу закона сохранения энергии, равна максимальной энергии электрического или магнитного поля:

где L — индуктивность катушки, I и Im — сила тока и ее максимальное значение, q и qm — заряд конденсатора и его максимальное значение, С — емкость конденсатора.

Процесс перекачки энергии в колебательном контуре между электрическим полем конденсатора при его разрядке и магнитным полем, сосредоточенным в катушке, полностью аналогичен процессу превращения потенциальной энергии растянутой пружины или поднятого груза математического маятника в кинетическую энергию при механических колебаниях последних. Рис. 3.62 иллюстрирует сказанное.

В табл. 3.1 приводится соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах.

Таблица 3.1

Соответствие между механическими и электрическими величинами

при колебательных процессах

Механические величины	Электрические величины
Координата х Скорость . Масса m Жесткость пружины k Потенциальная энергия kx2/2Кинетическая энергия mv2/2	Заряд q Сила тока i Индуктивность L Величина, обратная емкости 1 /С Энергия электрического поля q2/(2C)Энергия магнитного поля Li2/2

Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре, можно получить, приравняв производную по полной энергии контура (3.19) к нулю (поскольку полная энергия постоянна) и заменив в полученном уравнении ток на производную заряда по времени. В окончательном виде уравнение выглядит так:

Как видно, уравнение (3.20) ничем не отличается по форме от соответствующего дифференциального уравнения (1.54) для свободных механических колебаний шарика на пружине. Заменив механические параметры системы на электрические с помощью приведенной выше таблицы, мы в точности получим уравнение (3.20).

По аналогии с решением дифференциального уравнения для механической колебательной системы циклическая частота свободных электрических колебаний равна:

Период свободных колебаний в контуре равен:

Формула (3.22) называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее вывел.

Увеличение периода свободных колебаний с возрастанием L и С объясняется тем, что при увеличении индуктивности ток медленнее нарастает и медленнее падает до нуля, а чем больше емкость, тем больше времени требуется для перезарядки конденсатора.

Гармонические колебания заряда и тока описываются теми же уравнениями, что и их механические аналоги:

где qm — амплитуда колебаний заряда, Im = ω0 qm — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе на /2 колебания заряда.