Арифметические операции в позиционных системах счисления - Системы счисления - Краткий теоретический справочник

1. При сложении чисел в произвольной позиционной системе счисления с основанием р в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется. При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число, большее или равное р, то представляем его в виде рk+b, где — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b является количеством единиц в данном разряде, а число k — количеством единиц переноса в следующий разряд.

Пример 1. Выполните сложение двоичных чисел X = 1011,1, Y = 1101,01 и Z = 11101,11.

Решение.

Ответ: 110110,1₂.

Пример 2. Выполните сложение шестнадцатеричных чисел X = 5А,В, Y = 9F3,C1 и Z = A58,F.

Решение.

Ответ: 14A7,61₁₆.

2. При вычитании чисел в р-ой системе счисления цифры вычитаются поразрядно. Если в рассматриваемом разряде необходимо от меньшего числа отнять большее, то занимается единица следующего (большего) разряда. Занимаемая единица равна р единицам этого разряда (аналогично, когда мы занимаем единицу в десятичной системе счисления, то занимаемая единица равна 10).

Пример 1. Найдите разность двоичных чисел 11001001,01 - 111011,11.

Решение. См. рис. 5 а).

Рис. 5.

Ответ: 10001101,1₂.

Пример 2. Найдите разность шестнадцатеричных чисел С9,4 - 3B,С.

Решение. См. рис. 5 б).

Ответ: 8D,8₁₆.

3. При умножении чисел в р -ой системе счисления каждая цифра второго множителя умножается последовательно на цифру каждого из разрядов первого множителя (так же, как и в десятичной системе счисления). При этом необходимо учитывать, что если в результате умножения чисел получилось число, большее или равное р, то представляем его в виде рk+b, где (b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления р). Число b записываем в единицы данного разряда, а число k запоминаем и добавляем его к результату произведения в следующем разряде.

Полученные результаты умножения складываем согласно описанию, представленному в п. 1, и отделяем количество знаков после запятой, равное сумме знаков после запятой у сомножителей.

Пример. Найдите произведение восьмеричных чисел 37,27 ∙ 4,6.

Решение.

Ответ: 224,752₈.

4. Деление чисел в р -ой системе счисления производится так же, как и десятичных чисел, при этом используются правила умножения, сложения и вычитания чисел в р-ой системе счисления (см. пп. 1—3).

Пример. Найдите частное отделения В2В, 8 : 4, С в шестнадцатеричной системе счисления.

Решение.

Ответ: 25A₁₆.