РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧЕТНЫМ ВТОРЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цели: вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умение применять формулы I и II для решения квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационным момент.

II. Устная работа.

1. Назовите коэффициенты а, b, с уравнений:

2. Решите уравнение:

3. Сколько корней имеет уравнение:

III. Объяснение нового материала.

1. Создание проблемной ситуации.

Предложить учащимся для решения квадратное уравнение 15х² – 34x + 15 = 0. Используя формулу нахождения корней квадратного уравнения, получаем:

Решая это уравнение, учащиеся вынуждены проводить вычисления достаточно громоздкие, в отличие от ранее решаемых уравнений.

Можно теперь сообщить учащимся, что для решения квадратных уравнений, у которых второй коэффициент четный, существует другая формула корней, позволяющая упростить вычисления.

2. Вывод этой формулы проводится согласно пункту учебника. Причём в сильном классе можно предложить учащимся проделать это самостоятельно, записав только общий вид такого уравнения: ах² + 2 ∙ k ∙ х + с = 0 (b = 2k).

После вывода формулы возвращаемся к решенному уравнению и применяем новую формулу:

Как видим, вычисления можно произвести “в уме”, так как все значения квадратов чисел - табличные.

На доску можно вынести плакат:

Решение квадратного уравнения а2 + kх + с = 0, а ≠ 0; D1 = k2 - ас. Если D1 < 0, то уравнение не имеет корней; Если D1 = 0, то Если D1 > 0, то

Обращаем внимание учащихся, что D₁ в четыре раза меньше, чем D.

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания, решаемые на этом уроке, можно разбить на три группы:

1-я группа. Задания на непосредственное применение формулы (II) корней квадратного уравнения: № 539 (б, г, ж), 540 (в, з).

При решении этих заданий демонстрируем учащимся применение новой формулы для случая, когда корни уравнения являются иррациональными. Для этого вызываем двух учеников к доске и параллельно проводим решение по разным формулам.

№ 539.

ж) 7z²- 20z + 14 = 0

Формула I	Формула II
(Ещё раз замечаем, что )
Вынесем множитель из-под знака корня: то есть

Таким образом, получаем такие же корни.

2-я группа. Задания с выбором формулы (I или II) корней квадратного уравнения в зависимости от второго коэффициента: № 541 (б, в, ж), 546 (а, г), 550 (б), 552 (а, в), 553 (а).

3-я группа. Задания повышенной трудности: № 554, 555 можно предложить сильным учащимся, сократив для них количество заданий из 1-й и 2-й групп.

№ 554.

Можно предположить, что корни уравнений ах² + bх + с = 0 и сх² + bх + а = 0 являются взаимно обратными числами. Докажем это.

(Мы предполагаем, что b² - 4ас ≥ 0, то есть корни существуют.)

Вычислим Значит, x₁ и х₄ – взаимно обратные числа.

Аналогично доказывается, что x₁ и х₃ - взаимно обратные числа.

№ 555.

Чтобы определить количество корней, необходимо оценить дискриминант. Выделим в выражении квадрат двучлена:

Дискриминант принимает положительные значения при любом а (точнее D ≥ 12), значит, при любом а уравнение имеет два корня.

Ответ: а) нет; б) нет; в) при любом а.

V. Итоги урока.

- В каких случаях применяется формула II корней квадратного уравнения?

- В каком отношении находятся D₁ и D?

- По какой формуле вычисляется D₁?

- Можно ли применять формулу I корней квадратного уравнения, если коэффициент b чётный?

- Могут ли получиться разные корни при применении различных формул корней квадратного уравнения?

Домашнее задание: № 539 (в, е, з), 540 (б, е, ж), 541 (е, з), 548 (б, г), 551 (а, г, д).