КРУГИ ЭЙЛЕРА - НЕРАВЕНСТВА

Цели: ознакомить учащихся с возможностями иллюстрации соотношения между множествами с помощью кругов Эйлера; продолжить формировать умение находить объединение и пересечение множеств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Пусть даны множества А = {х | х - имя девочки} и В = {x | x - имя мальчика}. Выпишите:

а) два элемента, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В;

б) два элемента, принадлежащих множеству В, но не принадлежащих множеству А;

в) два элемента, принадлежащих и множеству А, и множеству В;

г) два элемента, не принадлежащих ни множеству А, ни множеству В.

2. Найдите А ∩ В, если:

а) A = {0, 1, 2, 3, 4} и B = {1, 2, 3, 4, 5};

б) А = {х | х - двузначное число} и В = {х | х- число, меньше 75}.

3. Найдите А ∪ В, если:

а) А = {17, 18, 19} и В = {3};

б) А = {у | у - число, меньшее 32} и В = {у | у - число, большее 7, но меньше 45}.

III. Объяснение нового материала.

1. Мотивация изучения.

Предложим учащимся для решения задачу, которую достаточно трудно решить без наглядного представления информации.

Задача. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 - в биологическом, 10 ребят не посещают кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение

Изобразим различные множества учащихся в виде кругов. Большой круг будет изображать всех учащихся класса. В этот круг поместим два поменьше. Один обозначим буквой М, и он будет изображать математиков класса. Другой круг обозначим Б - биологи класса. Очевидно, в общей части кругов, обозначенной МБ, окажутся те самые биологи-математики, которые нас интересуют. Теперь посчитаем: всего внутри большого круга 35 ребят, внутри двух меньших 35 - 10 = 25 ребят. Внутри “математического” круга М находятся 20 ребят, значит, в той части “биологического” круга, которая расположена вне круга М, находятся 25 - 20 = 5 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их 11 - 5 = 6 человек, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом, 6 биологов увлекаются математикой.

Ответ: 6 биологов увлекаются математикой.

2. Введение понятия “круги Эйлера”.

Сообщаем учащимся, что эти круги называются кругами Эйлера.

Один из величайших математиков петербургской академии Леонард Эйлер (1707-1783) за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились круги, которые “очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления”. С помощью этих кругов удобно геометрически иллюстрировать операции над множествами. Можно рисовать не только круги, но и овалы, прямоугольники и другие геометрические фигуры.

По учебнику на с. 169-170 рассматриваем иллюстрацию пересечения и объединения двух множеств с помощью кругов Эйлера.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся решают качественно новые упражнения, в которых необходимо рассматривать множества различной природы, а не только числовые. Востребуются знания из других разделов математики.

№ 803.

Задача. Известно, что точки А, В, С и D расположены на одной прямой, причём пересечением множеств точек отрезков АВ и CD являются: а) отрезок CD; б) отрезок СВ.

Для каждого случая сделайте чертёж.

Решение

№ 804 (а).

Вспомним определения:

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого есть прямой угол.

Ромбом называется параллелограмм, у которого смежные стороны равны.

Изобразим соотношение множества этих фигур с помощью кругов Эйлера.

Пересечением двух множеств будет множество параллелограммов, у которых есть прямой угол и равны смежные стороны. Это множество квадратов.

Ответ: множество квадратов.

№ 805.

Из темы “действительные числа” учащиеся знают, что N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

№ 806.

A = {x | x - кратное 4},

В = {у | у - кратное 3}.

А ∩ В - множество чисел, которые одновременно делятся на 3 и на 4, значит, это множество чисел, кратных 12.

Ответ: A ∩ В = {z | z - кратное 12}.

№ 808 (а).

Так как по определению:

- натуральное число называется простым, если оно имеет только два различных делителя: 1 и само это число;

- число, имеющее более двух делителей, называется составным;

- число 1 не относится ни к простым, ни к составным, так как имеет только один делитель.

V. Итоги урока.

- Для чего служат круги Эйлера?

- Как с помощью кругов Эйлера изобразить пересечение множеств? Объединение множеств?

Домашнее задание: № 804 (б), 807, 808 (б), 937.