Алгебра и начала анализа 10 класс поурочные планы по учебнику Мордковича А. Г.

Обратные тригонометрические функции - Тригонометрические уравнения - 1-е полугодие

В предыдущей главе уже рассматривалось решение самых простых тригонометрических уравнении, например и т. д.

Теперь изложенные подходы надо обобщить и применить для решения уравнений вида sin х = a, cos х = a, tg х = a, ctg х = а и более сложных. Для этого надо изучить обратные тригонометрические функции - арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.

Пример 1

Решим уравнение: a) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x1. По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z.

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin а) - такой угол а из промежутка , синус которого равен а, т. е.

Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка [0; π], косинус которого равен а, т. е.

Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.

Пример 2

Найдем:

Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:

Пример 3

Вычислим

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,

Рассмотрим более подробно свойства обратных тригонометрических функций.

Свойства функции	Функция
Свойства функции	у = arcsin х	у = arccos х	у = arctg х	у = arcctg х
Область определения	х ∈ [-1; 1]	х ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; +∞)	х ∈ (-∞ +∞)
Область значений	y ∈ [-π/2; π/2]	y ∈ [0; π]	y ∈ (-π/2; π/2)	y ∈ (0; π)
Четность	Нечетная	Ни четная, ни нечетная	Нечетная	Ни четная, ни нечетная
Нули функции (y = 0)	При х = 0	При х = 1	При х = 0	у ≠ 0
Промежутки знакопостоянства	у > 0 при х ∈ (0; 1]. у < 0 при х ∈ [-1; 0)	у > 0 при х ∈ [-1; 1)	у > 0 при х ∈ (0; +∞). у < 0 при х ∈ (-∞; 0)	у > 0 при x ∈ (-∞; +∞)
Монотонность	Возрастает	Убывает	Возрастает	Убывает
Связь с тригонометрической функцией	sin у = х	cos у = х	tg у = х	ctg у = х
График	а	б	в	г

Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.

Пример 4

Найдем область определения функции

Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции

Пример 5

Найдем область изменения функции

Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).

Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения

Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = -tg а = tg(-a), причем Следовательно, - a = arctg х или а = -arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.

Пример 7

Выразим через все обратные тригонометрические функции

Пусть Очевидно, что Тогда Так как

Введем угол Так как то

Аналогично поэтому и

Итак,

Пример 8

Построим график функции у = cos(arcsin х).

Обозначим а = arcsin x, тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos(arcsin х) является полуокружность.

Пример 9

Построим график функции у = arccos(cos x).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке [0; π]. Будем иметь в виду, что у = arccos(cos x) = х на отрезке [0; π]; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x, теперь легко построить график.

Отметим некоторые полезные равенства:

Пример 10

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и

Пример 11

Решим уравнение

Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:

2. Решение простейших тригонометрических уравнений

Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение	Решение


tgx = а
ctg х = а

Пример 12

Решим уравнение

Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим

Пример 13

Решим уравнение

По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем

Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения sin х = 1 решения