Обратная функция - Числовые функции - 1-е полугодие

Цель: обсудить понятие обратной функции и ее свойства.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Проведите исследование функции и постройте ее график:

Вариант 2

Проведите исследование функции и постройте ее график:

III. Изучение нового материала

По аналитическому виду функции для любого значения аргумента легко найти соответствующее значение функции у. Часто возникает обратная задача: известно значение у и необходимо найти значение аргумента x, при котором оно достигается.

Пример 1

Найдем значение аргумента х, если значение функции равно: а) 2; б) 7/6; в) 1.

Из аналитического вида функции выразим переменную х и получим: 4xy - 2у = 3x + 1 или х(4у - 3) = 2у + 1, откуда . Теперь легко решить задачу:

Функцию называют обратной по отношению к функции . Так как принято аргумент функции обозначать буквой х, а значение функции - буквой у, то обратную функцию записывают в виде

Дадим необходимые для изучения темы понятия.

Определение 1. Функцию у = f(x), х ∈ Х называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке х множества X (другими словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). В противном случае функцию называют необратимой.

Пример 2

Функция каждое свое значение принимает только в одной точке х и является обратимой (график а). Функция имеет такие значения у (например, у = 2), которые достигаются в двух различных точках x, и является необратимой (график б).

При рассмотрении темы полезна следующая теорема.

Теорема 1. Если функция у = f(х), х ∈ X монотонна на множестве X, то она обратима.

Пример 3

Вернемся к предыдущему примеру. Функция убывает (монотонна) и обратима на всей области определения. Функция немонотонна и необратима. Однако эта функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и [1; +∞) и убывает на отрезке [-1; 1]. Поэтому на таких промежутках функция обратима. Например, функция обратима на отрезке x ∈ [-1; 1].

Определение 2. Пусть у = f(х), х ∈ Х - обратимая функция и E(f) = Y. Поставим в соответствие каждому Y то единственное значение х, при котором f(x) = у (т. е. единственный корень уравнения f(x) = у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на множестве Y (множество X — ее область значений). Эту функцию обозначают х – f-1(y), y ∈ Y и называют обратной по отношению к функции у = f(х), х ∈ X. На рисунке показаны функция у = f(х) и обратная функция x = f-1(y).

Прямая и обратная функции имеют одинаковую монотонность.

Теорема 2. Если функция у = f(х) возрастает (убывает) на множестве X, а У - ее область значений, то обратная функция x = f-1(y) возрастает (убывает) на множестве Y.

Пример 4

Функция убывает на множестве и имеет множество значений Обратная функция также убывает на множестве и имеет множество значений Очевидно, что графики функций и совпадают, так как эти функции приводят к одной и той же зависимости между переменными х и у: 4ху - 3х - 2у - 1 = 0.

Для нас привычно, что аргумент функции обозначают буквой х, значение функции - буквой у. Поэтому обратную функцию будем записывать в виде у = f-1(x) (см. пример 1).

Теорема 3. Графики функции у = f(х) и обратной функции у = f-1 симметричны относительной прямой у = х.

Пример 5

Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.

Функция f-1(x) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f(х) = 2х - 4. Но и функция f(х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f-1(x) = 1/2х + 2. Поэтому функции f(х) и f-1(х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f-1(f(х)) = х и f(f-1(x) = x.

IV. Контрольные вопросы

1. Обратимые и необратимые функции.

2. Обратимость монотонной функции.

3. Определение обратной функции.

4. Монотонность прямой и обратной функций.

5. Графики прямой и обратной функций.

V. Задание на уроке

§ 3, № 1 (а, б); 2 (в, г); 3 (а, г); 4 (в, г); 5 (а, в).

VI. Задание на дом

§ 3, № 1 (в, г); 2 (а, б); 3 (б, в); 4 (а, б); 5 (б, г).

VII. Подведение итогов урока