Урок 3 - СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ

Цели: повторить свойства неравенства; развивать умение сравнивать выражения, а так же умение пользоваться свойствами неравенств для решения различных заданий.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Устно по карточкам оценить данные выражения, если известно 0 < < a < 5, 1 < b < 2:

а) 5а; б) 2a + 1; в) a2 + 1; г) a + b;

д) е) a2 + b2; ж) a2 + |b|.

Письменно на доске разбираются задания № 31.25; 31.37.

III. Решение задач.

1) Из учебника рассматриваются задания на доказательство различного уровня сложности № 31.39; 31.42; 31.44; 31.47.

Для сильных учеников даются задания № 31.57; 31.60.

2) Доказать следующие утверждения:

а) если a > b > 1, то a2b + b2 + a > ab2 + a2 + b;

б) если 1 < a < b < 2, то a2b – ab2 – a2 – ab + 2b2 + 2a – 2b > 0;

в) |a – 1| + |a – 2| ≥ 1;

г) |a – 3| + |a – 7| ≥ 4.

Р е ш е н и е:

в) Докажем, что |a – 1| + |a – 2| ≥ 1.

Данное неравенство лучше рассмотреть для нескольких условий:

a ≥ 2, 1 ≤ a < 2, a < 1.

Если a ≥ 2, то |a – 1| ≥ 1, |a – 2| ≥ 0; а значит, что сумма данных выражений (по свойствам неравенства) удовлетворяет неравенству |a – 1| + |a – 2| ≥ 1.

Если 1 ≤ a < 2, то справедливо следующее равенство |a – 1| + |a – 2| = a – 1 – a + 2 = 1. Значит |a – 1| + |a – 2| ≥ 1.

Если же a < 1, то 0 < |a – 1|, 1 < |a – 2|; а значит, сумма данных неравенств удовлетворяет следующему условию |a – 1| + |a – 2| > 1.

3) Найдите наименьшее значение выражений:

а) б)

4) Найдите наибольшее значение выражений:

а) б)

IV. Самостоятельная работа.

Вариант 1	Вариант 2
1) Известно, что a > 4, b > 1,1. Оцените значения выражений:
а) 3a + 6b; б) a2 + |b|.	а) 7a + 2b; б) |a| + b2 – 1.
2) Докажите, что если x > 4, то:
2x – 3,5 > 4,5.	–5x + 37 < 17.
3) Докажите, что при любых значениях переменной верно данное неравенство:
a2 + 100 ≥ 20a	x2 + 12x > –36

О т в е т ы:

Задание	1 (а)	1 (б)	3
I	3a – 6b > 18,6	a2 + |b| > 17,1	(a – 10) 2 ≥ 0
II	7a – 2b > 30,2	|a| + b2 – 1 > 4,1	(x + 6) 2 > 0

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: № 31.41; 31.46; 31.55; 31.63.