Графическое решение неравенства с двумя переменными - Неравенства с двумя переменными и их системы - Уравнения и неравенства с двумя переменными

Цель: рассмотреть графики неравенств с двумя переменными.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Сумма двух чисел равна 30, а их произведение равно 216. Найдите эти числа.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а его периметр равен 48 см. Найдите катеты треугольника.

Вариант 2

1. Сумма двух чисел равна 40, а их произведение равно 364. Найдите эти числа.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а его периметр равен 60 см. Найдите катеты треугольника.

III. Изучение нового материала

Часто приходится изображать на координатной плоскости множество решений неравенства с двумя переменными. Напомним, что решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.

Пример 1

Рассмотрим неравенство 3х2 – 1/y ≤ 8.

Пара значений переменных (-1; 1) обращает это неравенство в верное числовое неравенство 3 · (-1)2 – 1/1 ≤8, или 2 ≤ 8, и является решением неравенства. Пара значений (2; 1) приводит к неверному числовому неравенству 3 · 22 – 1/1 ≤ 8, или 11 ≤ 8, и не является решением данного неравенства.

На примерах рассмотрим, как изображается множество решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости.

Пример 2

Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2у + 3х ≤ 6.

Сначала построим прямую 2у + 3х = 6, или у = 3 – 3/2х. Она разбивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные выше ее, и точки, расположенные ниже ее. Возьмем из каждой области по контрольной точке, например A(1; 1) и B(1; 3).

Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у + 3х ≤ 6, т. е. 2 · 1 + 3 · 1 ≤ 6.

Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2 · 3 + 3 · 1 ≤ 6.

Так как данное неравенство может изменить знак на прямой 2у + 3х = 6, то неравенству удовлетворяет множество точек той области, где расположена точка А. Заштрихуем эту область.

Таким образом, мы изобразили множество решений неравенства 2у + 3х ≤ 6.

Пример 3

Изобразим множество решений неравенства х2 + 2х + у2 - 4у + 1 >0 на координатной плоскости.

Построим сначала график уравнения х2 + 2х + у2 - 4у + 1 = 0. Выделим в этом уравнении уравнение окружности: (х2 + 2х + 1) + (у2 - 4у + 4) = 4, или (х + 1)2 + (у - 2)2 = 22.

Это уравнение окружности с центром в точке O(-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружности.

Так как данное неравенство строгое и точки, лежащие на самой окружности, неравенству не удовлетворяют, то строим окружность.

Легко проверить, что координаты центра О окружности данному неравенству не удовлетворяют. Выражение х2 + 2х + у2 - 4у + 1 меняет свой знак на построенной окружности. Тогда неравенству удовлетворяют точки, расположенные вне окружности. Эти точки заштрихованы.

Пример 4

Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства (у - х2)(у - х - 3) ≤ 3.

Сначала построим график уравнения (у - х2)(у - х - 3) = 0. Им является парабола у = х2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х2)(у – х - 3) происходит только на этих линиях. Для точки А(0; 5) определим знак этого выражения: (5 - 02)(5 - 0 - 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для которых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).

Как видно из рассмотренных примеров, для построения множества решений неравенства с двумя переменными используется метод интервалов на координатной плоскости.

IV. Задание на уроке

№ 482 (а, б); 483 (б, в); 484 (г); 485 (а); 486 (в); 487 (а, в); 488 (б); 489 (а); 490 (б); 491 (а); 492 (б).

V. Задание на дом

№ 482 (в); 483 (а, г); 484 (в); 485 (б); 486 (г); 487 (б, г); 488 (а); 489 (б); 490 (а); 491 (б); 492 (а).

VI. Творческие задания

Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства.

VII. Подведение итогов урока