Сложение и умножение вероятностей (факультативное занятие) - Начальные сведения из теории вероятностей - Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Цель: рассмотреть более сложные понятия теории вероятностей.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Достоверное событие и его вероятность.

2. Найти вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным восьми.

3. Внутри окружности радиуса R находится окружность радиуса R/3. Найти вероятность того, что точка, брошенная в большой круг, попадет в малый круг.

Вариант 2

1. Невозможное событие и его вероятность.

2. Найти вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным девяти.

3. Внутри окружности радиуса R находится окружность радиуса R/4. Найти вероятность того, что точка, брошенная в большой круг, попадет в малый круг.

III. Изучение нового материала

Два события называют несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, т. е. наступление одного из них исключает наступление другого.

Пример 1

Пусть в мешке находится 15 шаров: 7 белых, 5 красных и 3 зеленых. Из мешка наугад вынимают один шар. Рассмотрим следующие события: событие А - шар оказался красным; событие В - шар оказался зеленым (очевидно, что события А и В несовместны); событие С - шар оказался не белым (красным или зеленым). Выясним, как вероятность события С связана с вероятностями каждого из событий А и В.

Найдем вероятности событий А, В, С. Для каждого испытания (извлечение из мешка одного шара) равновозможными являются 15 исходов. Из них для события А благоприятны 5 исходов, для события В-3 исхода, для события С - 8 исходов.

Находим вероятности этих событий: Р(А) = 5/15, Р(B) = 3/15, Р(C) = 8/15.

Видно, что Р(С) = Р(А) + Р(В).

Имеем правило сложения вероятностей: если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Пример 2

На учениях летчик получил задание «уничтожить» три рядом расположенных склада боеприпасов. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад равна 0,1, во второй - 0,15, в третий - 0,2. Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв остальных складов. Найдем вероятность того, что склады будут уничтожены.

Обозначим события: А - попадание в первый склад, В - попадание во второй склад, С - попадание в третий склад (эти события несовместны), Д — уничтожение складов.

По правилу сложения вероятностей: Р(Д) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 0,1 + 0,15 + 0,2 = 0,45.

При решении некоторых задач удобно использовать свойство вероятностей противоположных событий. События А и В называют противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление события А - наступление события В. Событие, противоположное событию А, обозначают символом . Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е.

Пример 3

Пусть бросают игральную кость. Обозначим события: А - выпадения четного числа очков, В - выпадение нечетного числа очков. Очевидно, что А и В - противоположные события, т. е. В = . При этом

Пример 4

Бросают 2 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 10?

Общее число равновозможных исходов этого испытания равно 36. Пусть событие А означает, что сумма выпавших на 2 кубиках очков меньше 10. Так как благоприятным для события А является большое число исходов, то удобно сначала найти вероятность противоположного ему события , которое означает, что сумма выпавших очков больше или равна 10. Благоприятными для события являются: 6 + 4; 6 + 5; 6 + 6; 5 + 6; 4 + 6. Поэтому вероятность

Два события называют независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.

Пример 5

Пусть в одном мешке находится 10 шариков, из которых 3 белых; а в другом - 15 шариков, из которых 7 белых. Из каждого мешка наугад вытаскивают по одному шарику. Какова вероятность того, что оба шарика окажутся белыми?

Рассмотрим события: А - из первого мешка вынимают белый шарик, В - из второго мешка вынимают белый шарик (события независимы).

Для события А благоприятными являются 3 исхода из 10 и Р(А) = 3/10, для события В - 7 исходов из 15 и Р(В) = 7/15.

Рассмотрим событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В. Общее число равновозможных исходов испытания, в которых событие С наступает или не наступает, равно 10 · 15. Действительно, каждому из 10 извлечений шарика из первого мешка соответствует 15 возможностей извлечения шарика из второго мешка. Благоприятными для события С являются те исходы, при которых оба вынутых шарика оказываются белыми. Каждому из 3 возможных извлечений белого шарика из первого мешка соответствуют 7 возможностей извлечения белого шарика из второго мешка, т. е. число исходов, благоприятных для события С, равно 3 · 7. Поэтому получаем: или Р(С) = Р(А) · Р(В).

Имеем правило умножения вероятностей: если событие С означает совместное наступление двух независимых событий А и В, то вероятность события С равна произведению вероятностей событий А и В, т. е. Р(С) = Р(А) · Р(В).

Пример 6

Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления на первой кости четного числа очков и на второй трех очков?

Обозначим события: А - появление на первой кости четного числа очков, В - появление на второй кости трех очков, С - появление на первой кости четного числа очков и на второй кости трех очков (т. е. событие С состоит в совместном появлении событий А и В).

События А и В независимы, тогда

IV. Контрольные вопросы

1. Какие события называют несовместными?

2. Правило сложения вероятностей.

3. Свойство вероятностей противоположных событий.

4. Какие события называют независимыми?

5. Правило умножения вероятностей.

V. Задание на уроке

№ 820; 822; 824; 826; 828; 830.

VI. Задание на дом

№ 821; 823; 825; 827; 829.

VII. Подведение итогов урока