Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003

Задачи
Тригонометрические уравнения и системы

Простейшие тригонометрические уравнения.

sin x = а, x = nπ + (−1)ⁿ arcsin а, |а| ≤ 1,

cos x = а, x = 2nπ ± arccos а, |а| ≤ 1,

tg x = а, x = nπ + arctg а,

ctg x = а, x = nπ + arcctg а.

Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:

x = 2nπ + αrсsin а, x = π(2n + 1) − arcsin а.

Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.

Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим

x = nπ + (−1)^{n π}/₂.

При n = 2k получим x = 2kπ + ^π/₂, а при n = 2k + 1 получим x = 2kπ + π − ^π/₂ = 2kπ + ^π/₂. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.

Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:

sin x = 0, x = nπ; sin x = 1, x = ^π/₂ + 2nπ; sin x = −1, x = − ^π/₂ + 2nπ;

cos x = 0, x = ^π/₂ + nπ; cos x = 1, x = 2nπ; cos x = −1, x = (2n + 1)π;

tg x = 0, x = nπ; ctg x = 0, x = ^π/₂ + nπ.

При решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2kπ, x − у = 2lπ; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1)π, x − у = 2lπ. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x − у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x − у = πk может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.

Однородные уравнения. Уравнение вида

а₀ sin^k x + а₁ sin^k^{− 1} x cos x + ...

... + а_k_{− 1} sin x cos^k^{− 1} x + а_k cos^k x = 0 (1)

называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют одинаковую степень относительно sin x и cos x.

При α₀ ≠ 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых cos x = 0. В самом деле, полагая cos x = 0, мы получаем из уравнения (1): а₀ sin^k x = 0, откуда sin^k x = 0, так как а₀ ≠ 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких значений x, при которых sin x и cos x одновременно обращаются в нуль.

Аналогично при а_к ≠ 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых sin x = 0.

Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.

Случай 1. a₀ ≠ 0 и а_k ≠ 0. В этом случае, разделив уравнение (1) на cos^k x, мы получим (поскольку cos x ≠ 0) равносильное ему алгебраическое уравнение

а₀у^к + а₁у^k^{− 1} + ... + а_k_{− 1}у + а_k = 0 (2)

относительно у = tg x.

Можно также делить уравнение (1) на sin^k x. Тогда (поскольку sin x ≠ 0) мы получим равносильное уравнению (1) алгебраическое уравнение

а₀ + а₁z + ... + а_k_{− 1}z^k^{− 1} + а_kz^k = 0 (3)

относительно z = ctg x.

Пример 1. Решить уравнение

sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x = 0. (4)

Разделив его на cos³ x, получим алгебраическое уравнение

у³ − 2у² − у + 2 = 0,

где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:

у₁ = −1, у₂ = 1, у₃ = 2.

Теперь остается решить совокупность уравнений

tg x = −1, tg x = 1, tg x = 2.

Мы получим следующие корни уравнения (1):

x = nπ ± ^π/₄ , x = nπ + arctg 2.

Случай 2. a₀ = 0, или a_k = 0, или а₀ = a_k = 0. Пусть, например, a₀ = a_k = 0, а a₁ ≠ 0 и a_k_{− 1} ≠ 0. Тогда уравнение (1) примет вид

a₁ sin^k^{− 1} x cos x + a₂ sin^k^{− 2} x cos² x + ...

... + a_k_{− 2} sin² x cos^k^{− 2} x + a_k_{− 1} sin x cos^k^{− 1} x = 0. (5)

В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение

sin x cos x (a₁ sin^k^{− 1} x + a₂ sin^k^{− 2} x cos x + ...

... + a_k_{− 2} sin x cos^k^{− 2} x + a_k_{− 1} cos^k^{− 1} x) = 0,

распадающееся на совокупность уравнений

sin 2х = 0,

a₁ sin^k^{− 1} x + a₂ sin^k^{− 2} x cos x + ...

... + a_k_{− 2} sin x cos^k^{− 2} x + a_k_{− 1} cos^k^{− 1} x = 0,

первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).

Пример 2. Решить уравнение

sin⁴ x cos x − 2 sin³ x cos² x − sin² x cos³ x + 2 sin x cos⁴ x = 0.

Левую часть уравнения разлагаем на множители:

sin x cos x (sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x) = 0. Получаем совокупность уравнений

sin x = 0, cos x = 0,

sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x = 0.

Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.

Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе

Если переписать эту систему в виде

то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что

Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = ^3π/₂, у = ^π/₄ (ни при каком целом n из выражения ^π/₄ + ^3nπ/₂ нельзя получить ^3π/₄).

В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x − у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.

Правильным было бы такое решение:

откуда

x = ^π/₄ + (2т + n), у = − ^π/₄ − ^π/₂ (2т − n).

Прежде чем приступать к решению задач, ознакомьтесь с введением к главе 9.

Решите уравнения:

13.1. 1 + sin 2x + 2√2 cos 3x sin (x + ^π/₄) = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.

13.2.

13.3.

13.4. tg 2x tg 7x = 1.

13.5.

13.6. 2 tg 3x − 3 tg 2x = tg² 2x tg 3x.

13.7. sin³ x + cos³ x + ¹/_√2 sin 2x sin (x + ^π/₄) = cos x + sin 3x.

13.8. 4 tg 4x − 4 tg 3x − tg 2x = tg 2x tg 3x tg 4x.

13.9. Найдите решения уравнения

лежащие в интервале (0, 2π).

13.10. Решите уравнение

sin (x − α) = sin x − sin α.

13.11. Найдите решения уравнения

|cos 2x| = |sin² x − а|

(а — действительное число), удовлетворяющие неравенству

0 ≤ x ≤ 2π.

Решите уравнения:

13.12.

13.13. (tg x + sin x)^½ + (tg x − sin x)^½ = 2 tg^½ x cos x.

13.14. ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + ²/_{sin 4x}.

13.15. sec x² + cosec x² + sec x² cosec x² = 1.

13.16.

13.17. 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tg x.

13.18. cos x = cos² ^3x/₄.

13.19. sin 4x[2 + ctg x + ctg (^π/₄ − x) = 2√2(1 + sin 2x + cos 2x).

13.20. sin 4x sin x − sin 3x sin 2x = ½ cos 3x + (1 + cos x)^½ .

13.21. sin 4x = m tg x, где m > 0.

13.22. sin ^x/₂ (sin x + sin 2x + ... + sin 100x) = ½ sin ^101x/₂.

13.23. sin² x + sin 2x sin 4x + ... + sin nx sin n²x = 1.

13.24. 4 cos x − 2 cos 2x − cos 4x = 1.

13.25.

13.26. sin³ x + cos³ x = 1.

13.27. cos² 3x + ¼ cos² x = cos 3x cos⁴ x.

13.28. При каких значениях а уравнение

1 + sin² ax = cos x

имеет единственное решение?

Решите системы:

13.29.

13.30.

13.31.

13.32.

13.33.

13.34.

13.35.

13.36.

13.37.

13.38.

13.39. Найдите все пары чисел x, у, которые удовлетворяют уравнению

tg⁴ x + tg⁴ у + 2 ctg² x ctg² у = 3 + sin² (x + у).

13.40. Решите уравнение

sin² x + ¼ sin² 3x = sin x sin² 3x.

13.41. Решите уравнение

cos x + cos у − cos (x + у) = ³/₂.

13.42. Найдите все пары чисел а и b, при которых для любых x и у, удовлетворяющих условию x + у = а (где x ≠ ^π/₂ + nπ, у ≠ ^π/₂ + nπ, n, m = 0, ±1, ±2, ...), верно равенство tg x + tg у + tg x tg у = b.