Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003

Задачи
Последовательности и прогрессии

Рассмотрим функцию натурального аргумента а_n = f(n), где либо n = 1, 2, 3, ..., k, либо n = 1, 2, 3, ..., k, ... . Если при любых натуральных i и j, таких, что i < j, значение а_j считается последующим по отношению к а_i, то множество значений а_n этой функции образует последовательность.

Последовательность обозначают, записывая ее члены а_n один за другим в порядке возрастания номера n: а₁, a₂, а₃, ... .

Если номер n принимает значения n = 1, 2, 3, ..., k, то последовательность называется конечной. Если же n = 1, 2, 3, ... (т. е. n пробегает все натуральные числа), то последовательность называется бесконечной.

а_n = f(n) называется общим членом последовательности. Если для любых i и j, таких, что i < j, выполняется неравенство а_i < а_j, то последовательность называется возрастающей. Если при тех же условиях будет а_i > а_j, то последовательность называется убывающей. Если же при любых i и j, таких, что i < j, выполняется неравенство а_i ≤ а_j (а_i ≥ а_j), то последовательность называется неубывающей (невозрастающей).

Последовательность, в которой

а_{i + 1} = а_i + d

при всех натуральных i, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Имеют место формулы:

2а_n = а_{n + 1} + а_{n − 1}; а_n = а₁ + d(n − 1);

где S_n — сумма n первых членов прогрессии.

Последовательность, в которой

a_{i + 1} = qa_i

при всех натуральных i, причем q ≠ 0 и a_i ≠ 0, называется геометрической прогрессией, а число q называется ее знаменателем.

Для геометрической прогрессии имеют место формулы:

a_n = a₁q^{n − 1};

a²_n = a_{n − 1}a_{n + 1}.

Вторая формула верна, если q ≠ 1. Бесконечная геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1, называется бесконечно убывающей.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия не обязательно является убывающей последовательностью. Она может быть возрастающей, например, при a₁ = −1, q = ½ , а может быть колеблющейся: a₁ = 1, q = −½ .

Если для бесконечной последовательности существует конечный предел последовательности ее сумм S_n, т. е. существует

, то S называется суммой всех членов этой бесконечной последовательности.

Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела сумму всех своих членов, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно убывающей. В этом случае

19.1. Общий член последовательности

Является эта последовательность возрастающей или убывающей?

19.2. Докажите, что если члены a_p, a_q, a_r, a_s арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то последовательность p − q, q − r, r − s является геометрической прогрессией.

19.3. Докажите, что если положительные числа a, b, с — соответственно m-й, n-й и p-й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то

a^{b − с}b^{с − a}с^{a − b} = 1.

19.4. Докажите, что если а, b, с образуют геометрическую прогрессию, то

где x > 0, x ≠ 1, а, b, с — различные положительные числа, отличные от единицы.

19.5. Найдите сумму

S = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7,

где последнее слагаемое содержит n цифр.

19.6. Докажите, что

где цифра 1 повторяется 2n раз, и цифры 2 и 3 только n раз.

19.7. При каких значениях x и у последовательность а₁, а₂, а₃, где

является одновременно арифметической и геометрической прогрессией?

19.8. Пусть х₁ и х₂ — корни уравнения x² − 3х + А = 0, а х₃ и х₄ — корни уравнения x² − 12х + В = 0. Известно, что последовательность х₁, х₂, х₃, x₄ является возрастающей геометрической прогрессией. Найдите А и В.

19.9. Решите уравнение

х³ − 7х² + 14х + а = 0,

зная, что его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию.

19.10. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых n членов. Найдите произведение первых n членов, если первый член равен √2.

19.11. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.

19.12. Найдите трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.

19.13. Имеющиеся в колхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в колхозе?

19.14. Три брата, возрасты которых образуют геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через 3 года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 p. больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?

19.15. Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии.

19.16. Даны два числа а и b. Составим последовательность а, b, a_1, b₁, a₂, b₂, ..., а_n, b_n, ..., каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему арифметическому двух предшествующих. Докажите, что

и найдите предел этой последовательности.

19.17. Найдите все положительные значения а, для которых все неотрицательные значения x, удовлетворяющие уравнению

cos [(8а − 3)x] = cos [(14а + 5)x]

и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.