Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003

Задачи
Геометрические задачи на проекционном чертеже

Умение правильно построить сечение по трем точкам упрощает решение некоторых геометрических задач.

Прежде чем приступать к решению задач этой главы, разберите несколько примеров на построение сечений и теней.

Пример 1. Построить сечение куба, проходящее через точки P, Q и R, расположенные так, как показано на рис. 4.1.

Точки P и Q (и точки Q и R) можно соединить сразу, так как они лежат в одной из граней куба.

Чтобы построить прямую, по которой плоскость сечения пересечет нижнее основание куба (эта прямая называется следом), нужно знать две точки, принадлежащие этой прямой. Одна точка нам дана — это точка R. Другую точку найдем, если продолжим до пересечения отрезки DC и PQ. Это можно сделать, так как указанные отрезки лежат в одной плоскости и, как видно из рис. 4.1, не параллельны. Полученная в результате точка S будет лежать в плоскости нижнего основания, так как вся прямая DC лежит в этой плоскости.

Через точки R и S мы теперь проведем след, который оставит плоскость сечения на плоскости нижнего основания. В результате получим точку T. После того как точки T и P соединены, сечение построено.

Несколько усложним задачу.

Пример 2. Построить сечение куба, проходящее через точки P, Q и R, расположенные так, как показано на рис. 4.2.

В этом случае одной вспомогательной точки окажется недостаточно. Хотя из рис. 4.2 видно, что сечение не пересечет плоскость нижнего основания, нужно построить след плоскости сечения на нижнем основании. Точку S мы построим так же, как в примере 1, а вторую точку T найдем, продолжив отрезки RQ и AD. След ST пересечет прямую BC в точке U. Так как точки U и P лежат в плоскости сечения, то, соединив их, найдем точку V, принадлежащую сечению куба, которая позволит завершить построение.

Пример 3. Построить сечение куба, проходящее через точку R, расположенную на передней грани куба, и точки P и Q — на ребрах задней его грани (рис. 4.3).

И на этот раз нам поможет построение следа плоскости сечения на плоскости нижнего основания. Чтобы было ясно, что точка R лежит на плоскости передней грани куба, спроецируем ее на основание. Проекция прямой PR и прямая PR пересекутся в точке S, принадлежащей следу. Вторую точку U следа мы получим, продолжив до пересечения BC и PQ. След US пересечет куб по отрезку VТ. Продолжим TR до пересечения с DD₁ в точке G. Чтобы закончить построение, получим еще одну вспомогательную точку F так, как это было сделано в первом примере.

Построение теней осуществляется с помощью тех же самых приемов. При этом нужно в качестве вспомогательной точки использовать проекцию источника света на плоскость, на которую падает тень.

Построим, например, тень, отбрасываемую вертикальной спичкой AB на плоскость P (концом В спичка упирается в плоскость), если источник света расположен в точке Q, а точка Q₁ есть проекция точки Q на плоскость P (рис. 4.4, а). Проведем две прямые AQ и BQ₁, пересекающиеся в точке А₁. Отрезок А₁В и будет тенью спички AB.

Если спичка AB расположена между плоскостью P и источником света Q произвольным образом, то построение тени показано на рис. 4.4, б. Предполагается, что проекции точек А, В и Q (это точки С, D и Q₁ соответственно) на плоскость P заданы или могут быть найдены. Вместо того чтобы строить тень спички AB, мы строим тени А₁С и В₁D двух вертикальных спичек AC и ВD, а затем, соединив точки А₁ и В₁, получаем нужную тень. Проекция спички AB на плоскость P фактически задана. Это отрезок CD. Тенью, отбрасываемой этой спичкой на плоскость P, если источник света расположен в точке Q, будет отрезок А₁В₁.

Пример 4. Источник света расположен над плоскостью нижнего основания куба в точке Q на высоте, вдвое превышающей ребро куба (рис. 4.5). Построить тень, отбрасываемую кубом на плоскость его нижнего основания.

Разумеется, можно было бы построить отдельно тени, отбрасываемые каждым вертикальным ребром куба, а затем соединить соответствующие вершины. Однако здесь проще воспользоваться тем, что ребра верхнего основания куба параллельны плоскости нижнего основания. Следовательно, тенью, отбрасываемой верхним основанием куба, будет квадрат. Поскольку QQ₁ вдвое больше ребра куба, то сторона этого квадрата будет равна 2 а (докажите).

Если мы проведем в кубе линию центров оснований и построим отбрасываемую ею тень, то не составит труда вычертить тень, отбрасываемую всем верхним основанием, а затем и всем кубом (см. рис. 4.5).

4.1. Дан куб ABCDА₁В₁С₁D₁. Через вершину А, середину E ребра BC и центр O грани СС₁D₁D проходит секущая плоскость. Найдите отношение, в котором она делит объем куба.

4.2. Дан куб ABCDА₁В₁С₁D₁ с ребром, равным единице. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину А и середины F и G ребер В₁С₁ и С₁D₁.

4.3. В кубе ABCDА₁В₁С₁D₁ проведена плоскость через вершину А, центр O₁ верхнего основания А₁В₁С₁D₁ и центр Q боковой грани ВВ₁С₁С. Пусть E — точка пересечения секущей плоскости с ребром В₁С₁. Найдите отношение В₁E к ЕС₁.

4.4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Сторона CD продолжена на расстояние MD = 2CD (MC = 3CD). Через точку M, вершину В и середину ребра SC проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей пирамиды, полученных при пересечении ее этой плоскостью.

4.5. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Через точки А, D и середину ребра SC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

4.6. Дан куб ABCDА₁В₁С₁D₁. На продолжении ребер AB, АА₁, AD отложены соответственно отрезки ВР, А₁Q, DR длины 1,5АВ. Через точки P, Q, R проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем куба?

4.7. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна Q. Вычислите площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.

4.8. В треугольной призме ABCА₁В₁С₁ боковое ребро равно l. В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной b, а прямая, проходящая через вершину В₁ и центр основания ABC, перпендикулярна к основаниям. Найдите площадь сечения, проходящего через ребро AB и середину ребра СС₁.

4.9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDА₁В₁С₁D₁ (ABCD и А₁В₁С₁D₁ — основания) даны длины ребер AB = а, АD = b, АА₁ = с. Пусть точка O — центр основания ABCD, O₁ — центр основания А₁В₁С₁D₁, F — точка, делящая отрезок O₁O в отношении 1 : 3. Найдите площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F параллельно его диагонали АС₁ и диагонали ВD основания.

4.10. В точке E, находящейся на расстоянии 2h от плоскости основания куба с ребром h и на расстоянии R > 2h от прямой, соединяющей центры оснований куба, помещен источник света. Докажите, что тень, отбрасываемая кубом на плоскость основания, будет иметь наибольшую площадь, когда плоскость, проходящая через центр куба, точку E и одну из вершин, перпендикулярна к плоскости основания.

4.11. На плоскость Π под прямым углом к ней падает пучок параллельных лучей. Как расположить над плоскостью куб с ребром а, чтобы отбрасываемая им тень имела максимальную площадь? Найдите площадь максимальной тени.