Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003
Задачи
Свойства чисел. Делимость
6.1. Докажите, что р² − 1 делится на 24, если p — простое число, большее 3.
6.2. Докажите, что n³ + 2n при любом натуральном n делится на 3.
6.3. Докажите, что число 3105 + 4105 делится на 49 и 181.
6.4. Сколько в числе 500! содержится множителей 2?
6.5. Делится ли число
на 81?
6.6. Определите, при каких целых значениях n выражение n4 + 4 является простым числом.
6.7. Докажите, что
является целым числом при любом четном n.
6.8. При каких целых значениях x дробь
сократима?
6.9. Найдите все пятизначные числа вида
(x — цифра сотен, y — цифра единиц), которые делятся на 36.
6.10. Найдите трехзначное число
(а, b, с — его цифры), если четырехзначное число
в три раза больше четырехзначного числа
.
6.11. Найдите простое число p, если p + 2 и p + 4 — простые числа.
6.12. Докажите, что tg 5° — число иррациональное.
6.13. Найдите два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11.
6.14. Найдите все целочисленные решения уравнения
3x² − 16xy − 35y² + 17 = 0.
6.15. Сколько различных целочисленных пар (x, y) удовлетворяют уравнению
x² = 4y² + 20 025?
6.16. Найдите натуральные x и y, удовлетворяющие условию 113x − 69y = 11, сумма которых x + y принимает наименьшее значение.