Окружность, касательная, секущая - Урок 2 - Планиметрия - Геометрия - Повышенный уровень 3

1480. Хорда АВ и диаметр MN одной и той же окружности не пересекаются, а точка пересечения прямых AM и BN равноудалена от концов хорды АВ на расстояние 3. Найдите радиус окружности, если ∠ANM = 30°.

1481. Отрезок CD является диаметром некоторой окружности. Через его концы С и D проведены две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках Л и Б, лежащих по одну сторону от прямой CD. Точка О, в которой пересекаются эти проведённые прямые, равноудалена от концов диаметра CD. Найдите радиус окружности, если длина хорды АВ равна 2, a ∠OCD — 60°.

1482. В прямоугольном треугольнике АВС угол С — прямой, угол А равен 60°. На стороне АВ взята точка Q так, что BQ : QA = 1:2. Найдите радиус окружности, проходящей через точки Qи А и касающейся прямой, содержащей сторону ВС, если QA = 6.

1483. В прямоугольном треугольнике АВС угол С — прямой, угол А равен 60°. На стороне АВ взята точка Q так, что BQ : QA = 1:2. Найдите радиус окружности, проходящей через точки Qи А, и касающейся прямой, содержащей сторону ВС, если QA = 4.

1484. В треугольнике АВС проведена медиана AM. При этом АВ = 7, АС = 5, AM = 2. Чему равны площади частей, на которые медиана делит треугольник?

1485. Векторы равны. Координаты точки А (3; 7), координаты точки D (1; 5). ∠DAC = ∠DBC = 30°. Найдите абсциссу точки С, если известно, что ордината точки В больше 6.

1486. Два вертикальных угла имеют синус, равный √15/4. В каждый из этих углов вписана окружность, при этом радиус одной в два раза больше радиуса второй. Расстояние между их центрами равно 12√2. Найдите диаметр меньшей окружности.

1487. Две параллельные прямые пересечены третьей под углом, синус которого равен 8/17. Длина отрезка третьей прямой, заключённой между двумя параллельными составляет 32. В накрест лежащие тупые углы вписаны окружности, радиус одной в 3 раза больше радиуса другой, расстояние между их центрами равно 40. Найдите радиус меньшей окружности.

1488. Радиусы окружностей S₁ и S₂, касающихся в точке А, равны 5 и 2 соответственно. Найдите длину отрезка касательной BF (F — точка касания), проведённой к S2 из точки В окружности Si, если известно, что АВ = 3.

1489. Радиусы окружностей S₁ и S₂, касающихся в точке А, равны 7 и 3 соответственно. Касательная, проведённая к S₂ из точки В окружности S₁, касается окружности S₂ в точке F.Найдите АВ, если BF = 4.

1490. На плоскости даны две окружности, касающиеся внешним образом в точке Т. К этим окружностям проведена общая касательная АВ, не проходящая через точку Т. Третья окружность касается прямой АВ и внешним образом обеих данных окружностей. Известны длины радиусов двух из трёх рассмотренных окружностей — это числа 64 и 100. Найдите длину радиуса оставшейся окружности.

1491. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую окружность в точках А я В, меньшую — в точках К и М. Найдите радиус большей окружности, если АК = 3, КМ = 2, МВ — 4.

1492. Даны две окружности, пересекающиеся в точках М и D. МВ и CD — касательные к первой и второй окружностям, В и С — точки на окружностях. CD = 10, МВ в 2 раза больше CD.Найдите МС, если периметр MBDC равен 45.

1493. В правильном треугольнике АВС со стороной 2√3 + 2 окружность с центром в точке С касается вписанной окружности в точке К и пересекает сторону АС в точке D. Найдите площадь треугольника, образованного точками К, D и точкой пересечения общей касательной к двум этим окружностям, проходящей через точку К, со стороной АС.

1494. Площадь ромба со стороной 4 равна 8√3. Найдите радиус окружности, касающейся вписанной в ромб окружности и двух его сторон.