Делимость - Текстовые задачи - Арифметика и алгебра - Олимпиадные задачи

1536. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник m х n клеток, причём m и n взаимно просты и m > n. Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 клеток прямоугольника. Найдите все возможные значения m и n.

1537. Каждое из чисел 7, 8, ..., 15 умножают на каждое из чисел 3, 4, ..., 8 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

1538. Каждое из чисел 5, 6, ..., 13 умножили на каждое из чисел 11, 12, ..., 20 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом поставили знак плюс или минус, после чего все 90 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

1539. Перед каждым из чисел 10, 11, ..., 18 и 2, 3, ..., 12 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 99 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

1540. Перед каждым из чисел 2, 3, ..., 8 и 20, 21, ..., 28 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 63 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

1541. Каждое из чисел 3, 4, ..., 11 умножают на каждое из чисел 13, 14, 15, 16, 17 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все результаты складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

1542. Каждое из чисел 2, 3, ..., 6, 7 делят на каждое из чисел и перед каждым из полученных частных произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все результаты складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

1543. Перед каждым из чисел 3, 4, ..., 11 и 13, 14, 15, 16, 17 ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго, а затем все результаты складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

1544. Перед каждым из чисел 2, 3, ..., 7 и 8, 9, ..., 17 ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора вычитают каждое из образовавшихся чисел второго, а затем все результаты складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

1545. Найдите наименьшее натуральное число, четверть которого есть пятая степень, а пятая часть которого есть четвёртая степень.

1546. Найдите наименьшее натуральное число, половина которого равна пятой степени натурального числа, а пятая часть равна квадрату другого натурального числа.

1547. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33.

1548. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 77.

1549. Найдите все натуральные значения n, при которых число является натуральным.

1550. Найдите все целые значения m, при которых число является целым.

1551. Найдите все пары целых чисел х и у, при которых является верным равенство —3ху — 10х + 13у + 35 = 0.

1552. Найдите все пары целых чисел, при которых является верным равенство 3ху + 16x + 13у + 61 = 0.

1553. К трёхзначному натуральному числу а приписали его же ещё раз, а затем сложили с единицей. В результате этих действий получили число, являющееся точным квадратом. Найдите все такие а.

1554. К трёхзначному натуральному числу b приписали его же ещё раз, а затем сложили с числом 4. В результате этих действий получили число, являющееся точным квадратом. Найдите все такие b.

1555. Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 175. Если все её члены уменьшить на 1 или уменьшить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 175. Какие значения при этих условиях может принимать величина где d — разность прогрессии, а n — число её членов?

1556. Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 325. Если все её члены уменьшить на 1 или уменьшить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 325. Какие значения может принимать при этих условиях величина где d — разность прогрессии, а n — число её членов?

1557. Решите в целых числах уравнение 4 ∙ 3^x — 35 = у².

1558. Решите в целых числах уравнение 2^х — 63 = у².

1559. Найдите все пары натуральных чисел k и n, таких, что k < n и

1560. Найдите все пары натуральных чисел k и n, таких, что k < n и

1561. Найдите все четырёхзначные квадратные числа, такие, что два числа, записанные первыми двумя цифрами и последними двумя цифрами, тоже являются квадратными. Число называется квадратным, если оно является квадратом некоторого натурального числа.

1562. Найдите наименьшее шестизначное квадратное число, такое, что два числа, записанные первыми тремя цифрами и последними тремя цифрами, тоже являются квадратными. Число называется квадратным, если оно является квадратом некоторого натурального числа.

1563. При каких значениях а система уравнений разрешима при любых значениях b?

1564. При каких значениях а система уравнений имеет решения при любых значениях b?

1565. Решите в натуральных числах систему уравнений

1566. Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1935.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

1567. Найдите все такие простые числа р, при которых число р² + 29 имеет ровно четыре различных делителя.

1568. Произведение всех делителей натурального числа Р оканчивается ровно на 96 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число Р?

1569. Может ли сумма первых п чисел натурального ряда оканчиваться на 123456789?

1570. Натуральное число а, меньшее 5000, при делении на 5 и на 9 даёт одинаковый остаток a, при делении на 7 и на 4 даёт остаток β, а при делении на 10 даёт остаток 2. Найдите все возможные значения числа а.

1571. Найдите все натуральные значения а, b, m, n, при которых имеет место равенство b^m — a^m = (bⁿ — aⁿ)b при а ≠ b, b ≠ 1.

1572. Решите в целых числах уравнение 6х² + 5y² = 74.

1573. Решите в целых числах уравнение 19x² + 28у² = 729.

1574. Про натуральное число n известно, что для любого натурального числа m выполняется хотя бы одно из двух условий:

а) m⁵ не делится нацело на n²;

б) m³⁰ делится нацело на n¹⁷.

Найдите количество всех таких натуральных n, меньших 60.

1575. Про натуральное число n известно, что для любого натурального числа m выполняется хотя бы одно из двух условий:

а) m⁵ не делится нацело на n;

б) m⁴⁰ делится нацело на n¹³.

Найдите количество таких натуральных n, меньших 200.

1576. Натуральные числа тип таковы, что сумма обратных им величин обратна некоторому простому числу. Решите в натуральных числах уравнение m² + 2n² = k².

1577. Натуральные числа тип таковы, что сумма обратных им величин обратна некоторому простому числу. Решите в натуральных числах уравнение 4m² + 3n² = k².

1578. Найдите все натуральные числа гг, для которых 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ является квадратом натурального числа.

1579. Найдите

а) такое наименьшее натуральное число m, что число 4^m — 2¹⁰⁰ является натуральным числом, делящимся нацело на 3;

б) такое наименьшее натуральное число m, что число 4^m — 4⁶² является натуральным числом, делящимся нацело на 27;

в) такое натуральное число m, не превосходящее 10000, что 4^m — 4⁵³ является натуральным числом, делящимся нацело на 3⁹.

1580. Найдите

а) такое наименьшее натуральное число m, что число 4^m — 8⁴⁰ является натуральным числом, делящимся нацело на 3;

б) такое наименьшее натуральное число m, что число 4^m — 4³⁹ является натуральным числом, делящимся нацело на 27;

в) такое натуральное число m, не превосходящее 20000, что 4^m — 4⁴⁴ является натуральным числом, делящимся нацело на 3¹⁰.

1581. Решите уравнение ху = х³ — у в целых числах.

1582. Решите уравнение ху + 2 = 3х + 2у в целых числах.

1583. На доске выписаны 79 последовательных натуральных чисел.

а) Всегда ли среди них есть число, сумма цифр которого делится на 13?

б) Приведите пример числа, выписанного на доске первым, если 78 последовательных чисел из этих 79 такие, что сумма цифр каждого из этих чисел не делится на 13.

1584. Для каждого натурального числа n будем обозначать количество его натуральных делителей через d(n) (включая единицу и само число n). Например, d(1) = 1, d(3) = 2, d(6) = 4. Найдите все такие натуральные числа m, что

а) число m² — 196 является натуральным и d(m² — 196) = 2;

б) d(m² + 24) = 3;

в) число га является простым и d(m² + 23) = 6.

Ответ приведите отдельно для каждого из трёх пунктов.

1585. Для каждого натурального числа n будем обозначать количество его натуральных делителей через d(n) (включая единицу и само число n). Например, d(1) = 1, d(3) = 2, d(6) = 4. Найдите все такие натуральные числа m, что

а) число m² — 324 является натуральным и d(m² — 324) = 2;

б) d(m² + 40) = 3;

в) число га является простым и d(m² + 35) = 6.

Ответ приведите отдельно для каждого из трёх пунктов.

1586. Найдите количество простых чисел среди чисел вида (n — натуральное).

1587. Натуральное число n делится без остатка на 8, на 9, на 11 и имеет 30 делителей, среди которых 1 и само это число n. Найдите все такие натуральные числа.

1588. Натуральное число n делится без остатка на 4, на 9, на 49 и имеет 45 делителей, среди которых 1 и само это число n. Найдите все такие натуральные числа.

1589. На доске записано n различных чисел, каждое из которых является натуральной степенью числа 2. Среднее геометрическое этих чисел равно 8, а среднее арифметическое может быть записано натуральным числом. Найдите все возможные значения n.

1590. На доске записано n различных чисел, каждое из которых является натуральной степенью числа 2. Среднее арифметическое этих чисел равно 112. Найдите все возможные значения n.