Вариант № 18 - Учебно-тренировочные тесты - МАТЕМАТИКА ПОДГОТОВКА К ЕГЭ

Часть 1

В1. Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 45 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 41 рубль 40 копеек. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

В2. На диаграмме (см. рис. 107) показана месячная норма осадков для города Красноярска. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество осадков в мм. Определите число месяцев, для каждого из которых норма осадков составляет менее 30 мм.

Рис. 107.

В3. Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 (см. рис. 108).

Рис. 108.

В4. Для остекления витрин требуется заказать 30 одинаковых стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,4 м². В таблице приведены цены на стекло и на резку стёкол. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 м2)	Резка стекла (руб. за одно стекло)	Дополнительные условия
А	280	21
Б	290	16	При заказе более 15 м2 стекла резка — бесплатно
В	300	18	При заказе (без учёта резки) на сумму свыше 3500 руб. резка — бесплатно

В5. Найдите корень уравнения х² — 8х + 15 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите меньший из них.

В6. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 60 (см. рис. 109). Найдите её среднюю линию.

Рис. 109.

В7. Найдите значение выражения если h(x) = 5^х.

В8. На рисунке 110 изображён график функции у = f(x), определённой на интервале (—5; 9). Найдите сумму точек экстремума функции f(x) на промежутке [—2; 5].

Рис. 110.

В9. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S — вершина, SO = 7, АС = 8√2. Найдите боковое ребро SC.

В10. Завод производит мониторы. В среднем на 100 качественных мониторов приходится 10 мониторов со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный монитор этого завода окажется качественным. Результат округлите до сотых.

В11. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра (см. рис. 111), радиус основания которого равен 5. Объём параллелепипеда равен 400. Найдите высоту цилиндра.

Рис. 111.

В12. При температуре 0°С рельс имеет длину l₀ = 12,5 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по законуl(t°) = l₀(1 + α ∙ t°), где α = 1,2 ∙ 10^-5(°C)^-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

В13. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, то общий доход семьи вырос бы на 63%. Если бы зарплата жены уменьшилась вчетверо, то общий доход семьи уменьшился бы на 24%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет стипендия дочери?

В14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [—7; —1].

Часть 2

С1. а) Решите уравнение 3^1+2tg3x — 10 ∙ 3^tg3x + 3 = 0.

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-π/2; π/2].

С2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки М, N и К — середины рёбер AD, CD и А₁В₁ соответственно. Найдите площадь сечения куба плоскостью MNK, если ребро куба равно 6.

С3. Решите неравенство log_x (6 - х) ∙ log_6-x х + log_x (3x + 4) ≤ 3.

С4. В равнобедренную трапецию с основаниями АВ и CD вписана окружность с центром О. При этом угол АОВ в три раза меньше угла COD. Найдите площадь трапеции ABCD, если её основание равно 1.

С5. При каких значениях b уравнение 10^x + b(2^x + 5^x) + b² = 0 имеет корни и все они принадлежат отрезку [2; 5]?

С6. Число 2013 представлено в виде суммы нескольких трёхзначных чисел. Трёхзначное число, каждая следующая цифра которого на один больше предыдущей, назовём «растущим», например, 456.

а) Какое наибольшее количество «растущих» чисел может быть в этой сумме?

б) Какое наибольшее количество различных «растущих» чисел может быть в этой сумме?

в) Может ли эта сумма состоять только из «растущих» чисел?