Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Признак перпендикулярности прямой и плоскости - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости;

2) формировать навык применения признака перпендикулярности прямой й плоскости к решению задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока и сформулировать цели.

II. Проверка домашнего задания

Проверка домашних задач по готовым чертежам. Три человека у доски готовят доказательство леммы и двух теорем. В это время класс работает устно по готовым чертежам.

1 . Дано: АВ ⊥ α, CD ⊥ α, АВ = CD (рис. 1).

Определить вид четырехугольника ABCD (параллелограмм), так как по теореме п. 16 АВ || CD, а четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

2. Дано: ABCD - параллелограмм, АВ ⊥ α, АС = 8 (рис. 2).

Найти: BD.

(BD = 8 см), так как АВ ⊥ α и АВ || DC, то CD ⊥ α. ABCD - прямоугольник ⇒ АС = BD и BD= 8.

3. Дано: ABCD - параллелограмм, BD ⊥ α, АВ = 6 (рис. 3).

Найти: РABCD.

(ромб, Р = 24), так как BD ⊥ α ⇒ BD ⊥ АС ⇒ ABCD - ромб, Р = 4 · 6 = 24.

III. Изучение нового материал.

А) Актуализация знани.

Задача № 119 а)

Дано: ОА ⊥ α, ОА = OD (рис. 4).

Доказать: АВ = DB.

Доказательство: ОА ⊥ (ОВС) ⇒ ОА ⊥ ОВ по определению перпендикулярности прямой и плоскости. ВО - медиана и высота в ΔABD ⇒ ΔABD - равнобедренный ⇒ AB = DB.

Б) Верно ли утверждение:

«Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости». Ответ обоснуйте. (Нет, приводится контр. пример; рис. 5, 6, 7.)

Возьмем две прямые. Две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекающимися (рис. 6, 7).

Что вы замечаете? Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Признак формулируется. Записываются условия и требования.

План доказательства (на доске).

1 этап. Дано: (рис. 8).

Доказать: a ⊥ OL.

1) АО = ОВ.

2) AP = BP, AQ = BQ.

3) ΔAPQ = ΔBPQ, поэтому ∠APQ = ∠BPQ.

4) MPL = ABPL, поэтому AL = BL.

5) В ΔABL медиана LO является высотой, то есть АВ ⊥ OL или a ⊥ OL.

2 этап, m - произвольная прямая плоскости α, OL || m.

Так как a ⊥ OL, то а ⊥ m, и, следовательно, а ⊥ α.

3 этап. Дано: а ⊥ р, а ⊥ q.

Доказать: a ⊥ α.

1) а1 || а.

2) Так как a1 ⊥ α, то а ⊥ α.

IV. Закрепление изученного материала

Задача № 121

(Указание: медиана, проведенная в прямоугольном треугольнике к гипотенузе, равна ее половине) (рис. 9).

Решение: (теорема Пифагора), СМ = 5, КМ = 13 (теорема Пифагора).

(Более сильные учащиеся решают задачу: Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 - равные ромбы; углы между ребрами, имеющими общую точку А, равны. Выясните, перпендикулярна ли прямая А1С прямой B1D1).

Решение: Очевидно, что треугольники AA1D1 и АА1В1 равны, значит, АВ1 = AD1. Пусть О - середина отрезка B1D1. Значит, прямая B1D1 перпендикулярна плоскости АСС1, в которой лежат прямые А1О и АО. Прямая А1С также лежит в плоскости, поэтому прямые А1С и B1D1 перпендикулярны.

Дано: ABCD - параллелограмм, АМ = МС, ВМ = MD (рис. 10).

Доказать: МО ⊥ (ABC).