Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;

2) доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой;

3) дать определение перпендикулярности прямой и плоскости;

4) доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока и поставить цели.

II. Устная работа

1) Что такое перпендикулярные прямые на плоскости?

2) Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед, ∠BAD = 30° (рис. 1).

Найдите углы между прямыми АВ и A1D1; А1В1 и AD; АВ и B1С1. (30°, 30°, 150°).

III. Изучение нового материала

1) Рассмотрим модель куба. Как называются прямые АВ и ВС? (перпендикулярные). Найдите угол между прямыми АА1 и DC; ВВ1 и AD. Эти прямые тоже перпендикулярные.

Вводится понятие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC (рис. 2).

Прямая AA1 параллельна прямой СС1, а прямая СС1 перпендикулярна прямой CD. Нами установлено, что АА1 перпендикулярна CD.

- Сформулируйте это утверждение.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: а || b, а ⊥ с (рис. 3).

Доказать: b ⊥ с.

Доказательство:

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠AMC = 90° (рис. 3).

По условию b || а, а по построению а || МА, поэтому b || МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, то есть b ⊥ с. Лемма доказана.

2) Рассмотрим модель куба (рис. 4).

- Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (ABC): АВ, AD, AC, BD, MN. (90°, 90°, 90°, 90°, 90°). Вывод: прямая АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (ABC). Такие прямые называются перпендикулярными.

Дается четкое определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Вводится обозначение а ⊥ α (рис. 5).

3) Доказать теорему:

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Задача № 118

Дано: α, В, С, D, О ∈ α; А, М, О ∈ α, а ⊥ α (рис. 6).

Какие из углов ∠AOB, ∠MOC, ∠DAM, ∠DOA, ∠BMO прямые?

Решение: Так как точка О ∈ α и О ∈ α ⇒ а ∩ α = точка О; ∠AOB, ∠MOC, ∠DOA - прямые.

Дано: а || а1, а ⊥ α (рис. 7).

Доказать: а1 ⊥ х.

Доказательство:

x ⊂ α, x - произвольная прямая. Из условия а ⊥ α следует (по определению перпендикулярности прямой и плоскости), что а ⊥ х; так как a1 || а (по условию) и а ⊥ х, то (согласно лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой) а1 ⊥ х. Итак, прямая а перпендикулярна к произвольной прямой х, лежащей в плоскости α. А это означает, что а1 ⊥ α.

4) Доказать обратную теорему: если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Доказательство: рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости α. Докажем, что они параллельны.

Рис. 47 (б) учебника на доске.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а. По предыдущей теореме b1 ⊥ α. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а || b. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а || b. Теорема доказана.

IV. Закрепление изученного материала

Задача № 117

Дано: DABC - тетраэдр; М ∈ АВ : AM = BM, N ∈ АС: AN = NC; ВС ⊥ AD (рис. 8).

Доказать: AD ⊥ MN.

Доказательство:

1) MN - средняя линия ΔАВС ⇒ MN || ВС;

2) по лемме, так как ВС ⊥ AD, то MN ⊥ AD.

Задача № 120

Дано: ABCD - квадрат, АВ = а, АС ∩ BD = О, OK ⊥ (ABC), ОК = b (рис. 9).

Найти: АК, ВК, СК, DK.

Решение:

1) АК = ВК = СК = DK следует из равенства. ΔАОК, ΔВОК, ΔСОК, ΔDOK равны по двум катетам (прямая ОК перпендикуляр на к плоскости квадрата. ABCD, ОК ⊥ АС и OK ⊥ BD);