Некоторые следствия из аксиом - АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

Цель урока:

- ознакомить учащихся с данной темой, показать применение аксиом к решению задач.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Вопросы учащимся:

а) Решение задачи 3 (a) - учащиеся дают обоснованный ответ (да - первый случай аксиома А1, второй случай аксиома А2).

б) Сформулировать аксиомы планиметрии.

в) Сформулировать аксиомы A1-A3 стереометрии.

III. Новый материал

Докажем следствие из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Учащиеся записывают формулировку теоремы - стр. 6 учебника.

Дано: а, М ∈ α.

Доказать: (а, М) ⊂ α.

Доказательство: Отметим, что теорема содержит два утверждения: 1. О существовании плоскости. 2. О единственности плоскости.

а) Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку М. Докажем, что через прямую а и точку М проходит плоскость. Отметим на прямой а 2 точки: P и Q. Точки М, Р и Q не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме A1 через эти точки проходит некоторая плоскость α. Так как 2 точки прямой а (Р и Q) лежат в плоскости α, то по аксиоме А2 плоскость α проходит через прямую а.

б) Единственность плоскости, проходящей через прямую А и точку М, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку М, проходит через точки М, Р и Q. Следовательно, эта плоскость совпадет с плоскостью α, так как по аксиоме А1 через точки М, P и Q проходит только одна плоскость.

Теорема доказана.

Теорема 2. Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Формулировку учащиеся записывают в тетрадь под руководством учителя с учебника (стр. 7).

Устно разбирают доказательство, а запись выполняют дома.

Учитель обращает внимание учащихся, что данная теорема также состоит их 2 утверждений: существования и единственности, и доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.

III. Закрепление изученного материала

Учащиеся работают в тетрадях.

Один учащийся выходит к доске и решает задачу 6, случай 1: точки лежат на одной прямой.

Дано: АВ, ВС, АС.

Доказать: (АВ, ВС, AC) ⊂ (ABC).

Доказательство: 1) (А, В, С) ∈ а, так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 (А, В, С) ∈ АВС;

2) (А, В, С) ∈ а. Через А, В и С по А1 проходит единственная плоскость. 2 точки каждого из отрезков АВ, АС и ВС лежат в плоскости, следовательно, по А2 прямые АВ, ВС, АС, а значит, и отрезки АВ, ВС, АС лежат в плоскости и т. д.

Задача с плаката

ABCD - ромб, О - точка пересечения его диагоналей, М - точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки A, D, О лежат в плоскости α.

Дайте ответ на поставленные вопросы с необходимыми обоснованиями.

1) Лежат ли в плоскости а точки В и С?

2) Лежит ли в плоскости МОВ точка D?

3) Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и ADO.

4) Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60°. Предложите различные способы вычисления площади ромба. .

Учащиеся работают в тетради, предварительно сделав чертеж.

Дано: ABCD - ромб, AC ∩ BD = О, М ∈ α, (A, D, О) ∈ α. АВ = 4 см, ∠A = 60°.

Найти: (В, С) ∈ α, D ∈ MOB, MOB ∩ ADO, SABCD.

Решение: Учитель проводит фронтальную работу по вопросам плаката.

1) D ∈ α, О ∈ α, то по А2 DO ⊂ α, так как B ∈ DO, то В ∈ α.

Аналогично А ∈ α, О ∈ α, то по А2 АО ⊂ α, так как С ∈ AO, то С ∈ α.

2) OB ⊂ MOB, D ∈ OB, то D ∈ MOB.

3) О ∈ МОВ, О ∈ ADO.

В ∈ МОВ, В ∈ ADO ⇒ MOB ∩ ADO = ВО, но так как ВО - часть DB, то MOB ∩ ADO = DB.

Учитель обращает внимание учащихся на тот факт, что если 2 плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

4)

IV. Подведение итогов

Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомили со следствиями и применили их при решении задач.

V. Оценки (с комментариями)

Домашнее задание

П. 2, 3, стр. 4-7.

Теорема 2, стр. 7 - записать доказательство.

Повторить А1-А3.

Задача .

Ответ:

а) нет, окружность можно вращать вокруг прямой, соединяющей эти две точки;

б) да.