Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости - урок 3 - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) совершенствовать навыки решения задач;

2) проверить теоретические знания, умение решать задачи и навыки учащихся по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости».

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урок.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Разобрать задачи из домашнего задания, с которыми не справились большинство учащихся.

2. Решение задач на готовых чертежах (для учащихся, справившихся с домашним заданием).

Решение проводится с последующей проверкой и обсуждением решения для учащихся всего класса.

Прямая а перпендикулярна плоскости ABC (рис. 1, 2, 3, 4).

1. Рис. 1. ∠ACB = 90°, АС = 4, MD = 3. Найти: МС.

2. Рис. 2. ΔАВС - равносторонний, АВ = 2√3, MD = 4. Найти: МС.

3. Рис. 3. Найти: MB.

4. Рис. 4. ABCD - прямоугольник, MD = 8. Найти: АВ и AD.

Решения к задачам на готовых чертежах

№ 1

Решение:

1) Так как CD - медиана и высота в ΔАВС, то ΔАВС - равнобедренный (по признаку) ⇒ АС = ВС = 4.

2) ΔАВС - прямоугольный (∠ACB = 90°). По теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2 = 42 + 42 = 32, (по свойству медианы, проведенной к гипотенузе).

3) Так как ΔMCD - прямоугольный. По теореме Пифагора: (Ответ: 1.)

№ 2

Решение:

1) Так как CD - медиана равностороннего треугольника, то

2) Так как

3) ΔMDC - прямоугольный. По теореме Пифагора: МС2 = MD2 + DC2, МС2 = 42 + 32 = 25, МС = 5. (Ответ: 5.)

№ 3

Решение:

1)

2) ΔАВМ - прямоугольный; (Ответ: 12.)

№ 4

Решение:

1) Так как

2) ΔMAD - прямоугольный:

3) ΔABM - прямоугольный: (Ответ: 2√6.)

III. Самостоятельная работа (см. приложение)

Решение задач самостоятельной работы

I уровень

Вариант I

№ 1. Дано: α, АВ - отрезок, (рис. 5).

Найти: АВ.

Решение:

1) Так как и существует плоскость β: Тогда ABB1A1 - трапеция с основаниями АА1 и ВВ1.

2) Пусть AA2 - высота тогда АА2В1А1 - прямоугольник; (по свойству сторон прямоугольника); то

3) Так как АА2 - высота, то ΔАА2В - прямоугольный, по теореме Пифагора

№ 2. Дано: ABCD - прямоугольник; (рис. 6).

Найти: В1В.

Решение:

1)

2) ΔABD, ∠A = 90°. По теореме Пифагора: BD2 = AB2 + AD2.

3) Так как BD ⊥ ВВ1, то ∠B1BD = 90°. ΔB1BD - прямоугольный. По теореме Пифагора: (Ответ: 15 см.)

Вариант II

№ 1. Дано: α, АВ - отрезок, АВ

Найти: А1В1.

Решение:

1)-2) см. решение задачи № 1 (I вариант);

3) ∠AA2B = 90°, ΔАА2В - прямоугольный. По теореме Пифагора: Значит, А1В = 12 см. (Ответ: 12 см.)

№ 2. Дано: ABCD - ромб; (рис. 7).

Найти: АА1.

Решение:

1)

2) АС ⊥ BD и АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей ромба). В ΔAОВ: ∠AОВ = 90°, По теореме Пифагора:

3) ΔA1АС - прямоугольный, по теореме Пифагора (Ответ: 5 см.)

II уровень

Вариант I

№ 1. Дано: (рис. 8).

Найти: АВ.

Решение:

1)

2) Так как Тогда существует плоскость β:

3) ΔАА1О и ΔВВ1О - прямоугольные, (по свойству накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми АА1 и ВВ1 и секущей АВ) ΔАА1О ~ ΔBB1O (по равенству острых углов) ⇒ (по определению подобных треугольников);

4) В так как то Тогда (Ответ: 24 см.)

№ 2. Дано: ABCD - прямоугольник; КА прямая КА ⊥ (ABC) (рис. 9).

Доказать: КВ ⊥ ВС.

Доказательство:

1) (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

2) Так как ABCD - прямоугольник, то

3) ВС ⊥ (АВК) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

4) ВС ⊥ КВ (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

Вариант II

№ 1. Дано: α, АВ - отрезок, АВ (рис. 8).

Найти: АВ.

Решение:

1)-3) см. решение задачи № 1 (вариант I); Так как ∠A = ∠B = 45, то ΔАА1О и ΔВВ1О - равнобедренные прямоугольные треугольники

4)

(Ответ: 8 см.)

№ 2. Дано: ABCD - квадрат; MB - прямая; MB ⊥ (ABC) (рис. 10).

Доказать: МС ⊥ CD.

Доказательство:

1)

2) Так как ABCD - квадрат, то

3)

III уровень

Вариант I

№ 1. Дано: ABCD - прямоугольник; (рис. 11).

Доказать:

Найти: B1D1.

Решение:

1) (пo теореме, устанавливающей связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости); АВ || CD (по свойству сторон прямоугольника); Следовательно, (пo признаку).

2) - параллелограмм (по признаку)

(по свойству диагоналей параллелограмма).

3) ΔBAD, ∠A = 90°. По теореме Пифагора: BD2 = AB2 + AD2 (AD = ВС);

4)

5) ΔD1DO - прямоугольный, по теореме Пифагора: D1О2 = D1D2 + DO2. (Ответ: 26 см.)

№ 2. Дано: ABCD и AECF - квадраты; BD ⊥ EF (рис. 12).

Доказать: EF ⊥ (ABC).

Найти: ∠(АС; ED).

Решение:

1) АС ⊥ EF (по свойству диагоналей квадрата); BD ⊥ EF (по условию). и по признаку.

2) Значит, ∠(AC, ED) = 90°.

(Ответ: 90°.)

Вариант II

№ 1. Дано: ABCD - прямоугольник; (рис. 13).

Найти: SABCD.

Доказать:

Решение:

(no признаку).

2) - параллелограмм,

3) - прямоугольный, по теореме Пифагора:

4) По теореме Пифагора:

5) (Ответ: 48 см2.)

№ 2. Дано: ABCD и ABEF - квадраты; AD ⊥ AF (рис. 14).

Доказать: ВС ⊥ (AEF).

Найти: ∠(AD; BF).

Решение:

ВС ⊥ (AEF) (по теореме, обратной к теореме, устанавливающей зависимость между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости).

2) Так как (по определению прямой перпендикулярной плоскости). Значит, ∠(AD, BF) = 90°.

IV. Проведение итогов

Домашнее задани.

Решить задачи

I уровень - задачи II уровня (или III уровня, по усмотрению учителя) самостоятельной работы;

II уровень - задачи III уровня (или другой вариант) самостоятельной работы.