Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Угол между прямой и плоскостью (повторение) - ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) ввести понятие прямоугольной проекции фигуры;

2) дать определение угла между прямой и плоскостью;

3) научить решать задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (10 мин)

Вспомнить с учащимися теорему о 3-х перпендикулярах.

№ 204. Дано: ОМ ⊥ (ABC), ОМ проходим через центр правильного ΔАВС; ОМ = a; ∠MCO = φ (рис. 1).

Найти: ОЕ; ME; SΔABC.

Решение:

а) ОА = ОВ = ОС = R - радиус описанной окружности около ΔАВС,

б) ΔАВС - правильный: СЕ ⊥ АВ, ОЕ = r, r — радиус вписанной окружности; ME ⊥ АВ (по теореме о 3-х перпендикулярах); ME - расстояние от точки М до АВ;

в) Из ΔМОЕ:

г) Длина окружности

д)

е) (Ответ: )

№ 206. Дано: АВ = 17 см; АС = 15 см; ВС = 8 см, АМ ⊥ (ABC), ∠А — меньший, АМ = 20 см (рис. 2).

Найти: ME.

Решение:

1) В ΔАВС против меньшей стороны лежит меньший угол (по теореме синусов). Проведем АЕ ⊥ ВС, АЕ ⊥ ME. По теореме о 3-х перпендикулярах ME ⊥ ВС.

2) По формуле Герона:

По теореме Пифагора: (Ответ: 25 см.)

II. Объяснение материала (8 мин)

Проекция произвольной фигуры - основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости (рис. 3).

М1 - проекция точки М на плоскость α; N - проекция самой точки N; (N ∈ α); F - фигура в пространстве; F1 - проекция фигуры F на данную плоскость.

Определение:

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 4).

φ0 - угол между прямой AM и плоскостью α является наименьшим из всех углов φ, которые данная прямая образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку А.

1) Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекцией на эту плоскость является точка пересечения этой прямой с плоскостью. Угол между прямой и плоскостью считается равным 90°.

2) Если прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной.

Понятие угла между прямой и плоскостью не вводим.

Угол между параллельными прямой и плоскостью считать равным 0°.

III. Закрепление материала (14 мин)

1. Учащиеся оформляют в тетрадях решение задачи № 162 из учебника и решение задачи на доске (9 мин.).

Задача

Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и PQ, если каждая из точек Р и Q равноудалена от концов отрезка АВ.

Решение: РА = РВ = m; QA = QB = n. Точки Р и Q лежат в плоскости α, проходящей через середину АВ и АВ ⊥ α. PQ ⊂ α и PQ ⊥ АВ, то есть искомый угол 90°. (Ответ: 90°.)

2. Один из учеников у доски решает задачу (5 мин.)

№ 163 (учащиеся решают в тетрадях)

Дано: АМ = d; ∠AMB = φ; а) 45°; б) 60°; в) 30° (рис. 6).

Найти: MB.