Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Решение задач - ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) подготовить учащихся к зачету;

2) решить задачи, близкие по содержанию задачам, включенным в зачет.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

Двое учеников решают у доски домашние задачи.

№ 203. Дано: О - центр окружности, вписанной в ΔАВС; OK ⊥ ABC, АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, ОК = 4 см (рис. 1).

Найти: расстояние от точки К до сторон ΔАВС.

Решение:

1. Окружность касается сторон ΔАВС в точках N, L, М. NO = LO = МО = r, OK ⊥ ABC (по условию); ON ⊥ АВ; KN ⊥ AB; OL ⊥ AC ⇒ KL ⊥ АС; ОМ ⊥ ВС; КМ ⊥ ВС по теореме о 3-х перпендикулярах ⇒ NK, LK, МК - искомые отрезки.

2. Проекции этих отрезков равны радиусу вписанной окружности ⇒ равны и сами отрезки КМ = KL = KN.

4. В ΔКОМ - прямоугольном - КМ = 5 см. (Ответ: 5 см.)

№ 207. Дано: ΔАВС, АС = 10 см, АВ = ВС = 13 см; КМ = MN = МР =

Найти: МО.

Решение:

1. О - центр вписанной окружности.

2. ΔМКО = ΔMNO = ΔМРО (по катету и гипотенузе).

(Ответ: 8 см.)

II. Решение задач

Третий ученик решает задачу № 216.

Дано: A ⊂ MN, В ⊂ MN; MN - ребро двугранного угла; ∠САК = 120°; АС ⊥ MN, BD ⊥ MN; AB = AC = BD = a (рис. 2).

Найти: CD.

Решение:

1. Проведем DK || AB AK || BD, тогда АК ⊥ АВ, АК = KD = а. Так как АС ⊥ АВ; АК ⊥ АВ, то ∠CAK - линейный угол двугранного угла.

2. Из ΔСАК по теореме косинусов получим.

3. Так как АВ ⊥ САК; DK || АВ, то DK ⊥ САК ⇒ DK ⊥ СК, поэтому ΔCKD - прямоугольный. Из ΔCKD получим (Ответ: 2a.)

№ 204. Дано: ΔАВС - правильный; ОМ ⊥ ABC, ОМ = а; О ⊂ (ОМ), ∠MCO = φ (рис. 3).

Найти: а) МА, MB, МС, расстояние от точки М до прямых АВ, ВС, СА; б) l; в) SΔABC.

Решение:

а) 1. Проведем высоты AD, ВК, СЕ. В ΔABC они пересекаются в точке О (центр ΔАВС); ОА = ОВ = ОС; ΔМАО = ΔМВО = ΔМСО (по двум катетам) ⇒ МА = MB = МС.

2. Из ΔМСО имеем:

3. (по 2-м катетам) ⇒ МК = ME = MD.

4. Так как OD - проекция MD на плоскость ABC и OD ⊥ ВС, то MD ⊥ ВС (теорема о 3-х перпендикулярах). Из ΔMDO:

(Ответ: .

Провести разноуровневую самостоятельную работу на 6 вариантов.

Самостоятельная работа

I уровень
Вариант I	Вариант II
В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 6, 8, 10. Найти диагональ параллелепипеда и угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.	В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5, 7, √47. Найти диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, АВ = 6, AD = 8, AA1 = 10. Найти: 1 .B1D; 2. ∠B1DB. Решение: (Ответ: 10√2; 45°.)	Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = 5, AD = √47; AA1 = 7. Найти: 1. B1D; 2. sin a. Решение: (Ответ: 11; 7/11.)
II уровень
Вариант III	Вариант IV
Из вершины A прямоугольного ΔАВС (∠C = 90°, ∠B = 60°) восстановлен перпендикуляр к плоскости ABC и на нем взят отрезок AM = h. Точка М соединена с В и С. Найдите SΔMBC, если двугранный ∠ABCM = 30°. Дано: ΔАВС - прямоугольный, ∠С = 90°, ∠В = 60°; AM ⊥ ABC, АМ = h; ∠АВСМ = 30°. Найти: SΔABC. Решение: 1. МА ⊥ АBС; АС ⊥ ВС, то по теореме о 3-х перпендикулярах МС ⊥ ВС ⇒ двугранным углом между плоскостями ВСМ и ABC будет ∠АСМ. 2. ΔАМС - прямоугольный; 3. ΔABC - прямоугольный; 4. (Ответ: h2.)	Точка М находится на расстоянии h от плоскости α. Проведены 2 наклонные МР и MQ (где Р и Q - основания наклонных), соответственно под углами 45° и 60°. Найдите PQ, если ∠POQ = 150°, где О - основание перпендикуляра МО, МО ⊥ α. Дано: МР и MQ - наклонные; МО = h; ∠MQO = 45°; ∠МРО = 60°; ∠POQ = 150°; M ⊄ α. Найти: PQ. Решение: (Ответ: )
III уровень
Вариант V	Вариант VI
Треугольник AВС равносторонний, сторона АВ наклонена под ∠45° к плоскости α. Под каким углом наклонена плоскость ΔABC к плоскости α. Дано: ΔАВС – равносторонний, ∠ВАО = 45°; АС ⊂ α. Найти: ∠BDO. Решение: 1. Проведем BD ⊥ АС и ВО ⊥ α. По теореме о 3-х перпендикулярах OD ⊥ АС, BD ⊥ AC => АС ⊥ BOD; ∠BDO – линейный угол двугранного угла ВАСО, угол между плоскостью α и плоскостью ΔABC. 2. ΔАВО - прямоугольный (ВО ⊥ α), следовательно ВО ⊥ АО. По определению перпендикуляра к плоскости; ВО = АО = а. 3. АВ = а√2 (т. Пифагора). 4. ΔABC - прямоугольный; 5. ΔDBO - прямоугольный; (Ответ: )	Плоскость квадрата ABCD со стороной а перпендикулярна плоскости равнобедренного ΔВСМ с углом В 120°. Найдите SΔADM. Дано: ABCD - квадрат; АВ = а; ΔВСМ - тупоугольный равнобедренный; ∠В = 120°; ABCD ⊥ ΔВСМ. Найти: SΔADM. Решение: Угол между двумя плоскостями ABC и МВС - ∠MKN; ∠MKN - прямой (по условию) ⇒ ΔMKN - прямоугольный; МК - высота ΔМВС; NK = АВ = а (по построению); MN – высота ΔAMD, так как MN ⊥ ND по теореме о 3-х перпендикуляраx; (Ответ: )