Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Перпендикулярность прямых и плоскостей (повторение) - ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) повторить некоторые вопросы теории путем опроса учащихся;

2) решить задачи на применение этих вопросов.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний Фронтальный опрос

Трое учащихся на доске записывают решение домашних задач.

1. № 192. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; B1D - диагональ куба; ∠BDB1 = α (рис. 1).

Найти: tg α.

Решение:

1. Известно, что все ребра куба равны. Пусть АВ = AD = AA1 = а.

2. ΔABD - прямоугольный. BD2 = АВ2 + AD2 (теорема Пифагора); BD2 = а2 + а2 = 2а2; BD = a√2.

3. BD - проекция B1D на ABCD ⇒ угол между этими прямыми есть α.

4. В ΔB1BD: (Ответ: √2/2.)

2. № 195. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; BD, - диагональ параллелепипеда; АС1 = 12 см; ∠AD1B = 30°, ∠DD1B = 45° (рис. 2).

Найти: АВ, AD, DD1.

Решение:

1. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны; BD1 = АС1 = 12 см.

2. АВ ⊥ ADD1, поэтому AD1 - проекция диагонали на плоскость AA1D1D и ⇒ ∠AD1B = 30°.

3. Из ΔABD получаем: АВ = 6 см (по свойству катета, лежащего против угла в 30°.

4. Из ΔDD1В имеем:

5. Из ΔADB получаем: (Ответ: 6 см, 6 см, 6√2 см.)

3. Задача по планиметрии

Дано: ΔABD, DM ⊥ АВ; АВ = 14, BD = 13, AD = 15 (рис. 3).

Найти: h.

Решение:

1. Пусть MB - х, тогда АМ = АВ - х, то есть АМ = 14 - х.

2. Из ΔMBD и ΔAMD (прямоугольные так как MD ⊥ АВ); (в ΔMBD); (в ΔAMD). Приравняем правые части

3. Из ΔMBD, (Ответ: 12.)

Два ученика работают по карточкам.

1. Три измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1 м, 2 м, 3 м. Найдите: а) сумму длин всех его ребер; б) сумму площадей всех его граней; в) длины его диагоналей.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = 1 м, AD = 2 м, АА1 = 3 м (рис. 4).

Найти: а) сумму длин ребер; б) сумму площадей граней; в) длины диагоналей.

Решение:

а) В прямоугольном параллелепипеде 12 ребер; Это противоположные стороны прямоугольника. Сумма ребер = 24 м.

б) 6 граней, причем противоположные равны;

в) Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны; (Ответ: 24 м, 22 м2, √14 м.)

2. Три ребра параллелепипеда, имеющие общую вершину равны 2 м, 3 м и 5 м, а одна из диагоналей равна 6 м. Является ли этот параллелепипед прямоугольным? (рис. 5).

Решение: Предположим, что параллелепипед прямоугольный, тогда в ΔABD: BD2 = АВ2 + AD2, так как ΔABD - прямоугольный и для него справедлива теорема Пифагора. BD2 = 22 + 32 = 13, BD = √13 м. В ΔB1BD, а по условию B1D = 6 м, следовательно, предположение неверно и параллелепипед не является прямоугольным. (Ответ: не является.)

II. Формирование навыков и умений учащихс.

№ 189. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб (рис. 6).

Найти: расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если:

1) m - диагональ грани;

2) d - диагональ куба.

Пусть а - ребро куба (а ребра куба равны), тогда расстояние от вершины А1 (например) до плоскости любой грани будет а (так как ребра куба перпендикулярны).

1. ΔАВС - прямоугольный;