РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ - урок 2

Цели: вывести формулу Герона, рассмотреть применение ее при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

По готовым на доске чертежам проверить решение задач.

№ 490 (б).

1) ВD – высота, биссектриса и медиана по свойству равнобедренного треугольника, поэтому 1 = 2 = 60°, АD = DС = 9 см.

2) АВD – прямоугольный, 3 = 90° – 60° = 30°.

3) ВD – катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то есть АВ = 2ВD.

4) Пусть ВD = х см, тогда АВ = 2х см.

По теореме Пифагора АВ2 = ВD2 + АD2,

(2х)2 = х2 + 92,

4х2 = х2 + 81,

3х2 = 81,

х = 3,

АВ = 6см.

5) SАВС = ВD · АС = 3 · 18 = 27 (см2).

№ 490 (в).

1) СD – высота, биссектриса, медиана.

2) АDС – равнобедренный и прямоугольный.

По теореме Пифагора АС2 = СD2 + АD2.

АС = = 7 (см).

SАВС = АС · СВ = · 7 · 7 = 49 (см2).

№ 491 (а).

АВ2 = АС2 + СВ2,

АВ = = 13 (см).

АD = х, DВ = 13 – х.

АСD (D = 90°) : СD2 = АС2 – АD2 = 25–х2.

СDВ (D = 90°) : СD2 = СВ2 – DВ2 = 144 – (13 – х)2 = 144 – 169 + 26х – х2.

Имеем 25 – х2 = 26х – х2 – 25.

26х = 50

х =

СD = = (см).

II. Изучение нового материала.

Рассмотреть решение задачи № 524. Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть А и В – острые углы треугольника АВС. Тогда основание высоты СD лежит на стороне АВ.

Положим АD = х, тогда ВD = с – х.

Применяя теорему Пифагора к треугольникам АСD и ВСD, получаем уравнения

b2 = h2 + х2; а2 = h2 + (c – x)2

h2 = b2 – x2; h2 = а2 – (c – x)2

b2 – x2 = а2 – (c – x)2

b2 = а2 – c2 + 2сx

x =

h2 = b2 – x2 = (b – х) (b + х)

h2 =

h2 =

h2 =

h2 = =

h = , S = h ∙ c = .

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить № 499 (а).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: №№ 499 (б), 491 (б), 492, 495 (в); подготовиться к самостоятельной работе; выучить формулы площадей многоугольников.

Для желающих.

Задача Леонарда Пизанского, XIII век.

Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей одна от другой. Высота первой башни 50 локтей, высота второй 40 локтей. Между башнями находится колодец, одинаково удаленный от вершин башен. Как далеко находится колодец от основания каждой башни.

Решение

АСВ, С = 90.

АВ2 = АС2 + СВ2;

ВЕD, D = 90

ВЕ2 = ВD2 + ЕD2.

Так как АВ2 = ВЕ2, то 502 + х2 = (60 – х)2 + 402

х = 22,5.

СВ = 22,5; ВD = 37,5.

Ответ: 23 и 38 локтей.