ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: дать определение пропорциональных отрезков, рассмотреть свойство биссектрисы треугольника и применение этого свойства при решении задач.

Ход урока

I. Анализ контрольной работы.

1. Сообщение итогов контрольной работы.

2. Ошибки, допущенные учащимися в ходе работы.

3. Решение на доске задач, вызвавших затруднения у учащихся.

II. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие пропорциональных отрезков.

2. Решить устно №№ 533, 534 (а, б).

3. Разобрать решение задачи № 535 (свойство биссектрисы треугольника).

III. Закрепление изученного материала.

№ 536 а.

Решение

1) По свойству биссектрисы треугольника

АВ = = 15 (см).

№ 538.

1) РАВС = АВ + ВС + АС

42 = АВ + АС + 13,5 + 4,5

АВ + АС = 24.

2) Пусть АВ = х, тогда АС = 24 – х.

3) По свойству биссектрисы треугольника .

4,5х = 13,5 (24 – х)

18х = 324

х = 18.

АВ = 18 см, АС = 6 см.

№ 540.

1) РСDЕ = СD + DЕ + СЕ

55 = СD + DЕ + 20

СD + DЕ = 35.

2) Пусть СD = х, DЕ = 35 – х.

3) Диагональ DF является биссектрисой угла СDЕ по свойству ромба.

4) По свойству биссектрисы треугольника

12х = 8 (35 – х)

20х = 8 · 35

х = = 14.

CD = 14 см, DЕ = 21 см.

Задача. Из одной вершины треугольника проведены биссектриса, высота и медиана, причем высота равна 12 см и делит сторону на отрезки, равные 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника и отрезки, на которые данную сторону делят основания биссектрисы и медианы.

Решение

1) ВD – высота, BN – медиана и ВЕ – биссектриса.

2) Треугольники СВD, АВD – прямоугольные.

АВ2 = АD2 + ВD2 и ВС2 = ВD2 + DС2

АВ = = 15 (см)

ВС = = 20 (см)

3) АС = АD + DС = 9 + 16 = 25.

Пусть АЕ = х, тогда ЕC = 25 – х.

4) По свойству биссектрисы треугольника

20х = 15 · 25 – 15х

35х = 15 · 25

х =

АЕ = 10 см, ЕС = 14 (см).

5) AN = NC = = 12,5 (cм).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1 и 2, с. 160; №№ 534 (в), 535, 536 (б), 537, 539; повторить теорему об отношении площадей треугольников с равным углом.

Для желающих.

Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника АВС обладает аналогичным свойством, что и для внутреннего, то есть если для внешнего угла В провести биссектрису до продолжения с прямой, содержащей противоположную сторону, то: .

Решение

1) Продолжим сторону ВС за точку В на отрезок ВD, равный АВ.

2) DВЕ = АВЕ по I признаку равенства треугольников, поэтому DЕ = АЕ и ЕВ – биссектриса угла DЕС.

3) Тогда для треугольника DЕС имеем , поскольку АЕ = DЕ и DВ = АВ, получили .