ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ - урок 6

Цель: закрепить умение решения задач на построение методом подобия.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Рассмотреть решение задач № 586, № 587.

II. Анализ самостоятельной работы.

III. Решение задач.

№ 590.

Решение

Дано:

Построить: АВС, С = 90°, АВ = PQ, .

Анализ. Задачу будем решать методом подобия. Сначала можно построить какой-нибудь прямоугольный треугольник АВ1С1 (С1 = 90°) так, чтобы , а затем, используя условие АВ = PQ, построить искомый треугольник АВС.

Построение.

1. Строим треугольник АВ1С1 так, чтобы С1 = 90°, С1А = Р1Q, С1В1 = Р2Q2 (п. 38, зад. 1).

2. На луче АВ1 отложим отрезок АВ = РQ.

3. Через точку В проведем прямую, параллельную В1С1. Она пересекает луч АС1 в точке С. Треугольник АВС – искомый.

Доказательство.

АВС А1В1С1 по первому признаку подобия треугольников (А – общий, С = С1, так как ВС || В1С1), поэтому С = 90°, .

Сторона АВ равна данному отрезку PQ по построению. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование.

Из построения следует, что задача при любых данных отрезках PQ, Р1Q1 и P2Q2 имеет решение. Задача имеет единственное решение. В самом деле, если А1В1С1 и А2В2С2 удовлетворяют условиям задачи, то они подобны, а так как А1В1 = РQ, А2В2 = РQ, то А1В1 = А2В2 и, значит, А1В1С1 = А2В2С2.

№ 622.

Дано: АВС.

Построить А1В1С1 : = 2SАВС и А1В1С1 АВС.

Построение.

1) Построим АВF так, чтобы АВ ВF и BF = АВ (как описано в задаче № 290).

2) Построим АCЕ так, чтобы СЕ АС и СЕ = АС аналогично.

3) На лучах АВ и АС отложим соответственно отрезки АВ1 = AF и АС1 = АЕ.

4) Проведем отрезок В1С1.

5) Тогда АВ1С1 – искомый.

Доказательство.

1) По теореме Пифагора

2) По построению AB1 = AF = AB.

AC1 = AE = AC.

3) .

4) А1В1С1 АВС (по второму признаку).

5) = 2.

Поэтому АВ1С1 удовлетворяет всем условиям задачи.

IV. Самостоятельная работа.

Вариант I

Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и медиане, проведенной из вершины этого угла.

Вариант II

Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и биссектрисе прямого угла.

Вариант III
(для наиболее подготовленных учащихся)

Постройте ромб по стороне и данному отношению 3 : 4 его диагоналей.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 8–12 на с. 160–161; № 588, прочитать п. 65.

№ 588.

Дано: А, , AM – медиана.

Построить: ΔАВС.

Построение.

1) На произвольной прямой отметим произвольно точку А и отложим А.

2) Пусть а – произвольный единичный отрезок.

3) На сторонах А отложим отрезки АВ1 = 2а и АС1 = 3а.

4) Проведем В1С1 и разделим его пополам точкой О.

5) Проведем луч АО и отложим отрезок АМ.

6) Через точку М проведем прямую b || B1C1; точки пересечения со сторонами угла А обозначим В и С.

7) АВС – искомый.

Доказательство.

1) АВС АВ1С1 (A – общий, AВ1С1 = AВС, как соответственные при ВС || B1C1 и секущей АВ).

2) .

3) Аналогично доказывается, что = 1.

4) Полученный АВС – искомый, так как АМ – медиана, по доказанному.