ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ - урок 3

Цели: рассмотреть теорему об отрезках пересекающихся хорд и применение изученного материала при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Найти градусную меру угла АВС (устно):

2. Рассмотреть решение задачи № 664.

II. Изучение нового материала.

1. Докажите, что АМС DМВ.

2. Доказать теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.

III. Закрепление изученного материала.

Решить №№ 666 (а; б), 668, 670, 671 (а), 673.

№ 668.

Решение

1) АСВ – вписанный и опирается на полуокружность, следовательно, АСВ = 90°.

2) СD = .

№ 670.

Решение

1) АВР = АQВ, так как АВР = ВР (задача № 664) и АQВ = BP.

2) АВР АQB по двум углам (угол А – общий и АВР = АQB).

3) , AB2 = AP · AQ.

№ 671 (а). Для решения использовать задачу № 670.

№ 672.

Решение

1. Проведем касательную к окружности через точку А. Имеем АВ – касательная к окружности.

2. АС1 и АВ – секущая и касательная, значит, АВ2 = АВ1 · АС1

3. АС2 и АВ – секущая и касательная, поэтому АВ2 = АВ2 · АС2.

4. АВ1 · АС1 = АВ2 · АС2.

IV. Итоги урока.

1) АD и СВ – хорды; АЕ · ЕD = СЕ · ЕD.

2) АС – касательная; АВ – хорда; САВ = АВ.

3) АВ – касательная; AQ – секущая; АВ2 = АР · AQ.

4) АС1 и АС2 – секущие; АВ1 · AС1 = АВ2 · АС2.

Домашнее задание: вопросы 1–14, с. 187; №№ 666 (б), 667, 671; подготовиться к самостоятельной работе.

Для желающих: № 718 (решение в учебном пособии, с. 188–189) и задача.

Задача.

Через конец В диаметра АВ проведена секущая, которая пересекается в точке D с касательной, проведенной через другой конец диаметра А; радиус окружности равен 3 см. Найти длину отрезка касательной АD, если известно, что секущая ВD в точке пересечения с окружностью делится пополам.

Решение

1. 3 = AD, 1 = AD, 1 = 3.

2. АDС: 3 + 4 + АDС = 180°;

Из АВС: 4 = 90° – 1; но 1 = 3, поэтому 4 = 90° – 3.

Имеем 3 + 90° – 3 + АDС = 180°

АDС = 90°.

3. Получили АВС равнобедренный, так как АD – медиана и высота.

4. АВ = АС = 6 см.

№ 667.

Решение

1) АВА1 – прямоугольный, так как вписанный угол А1ВА опирается на полуокружность.

2) 5 = 3 как вписанные и опирающиеся на одну дугу АВ1.

3) 1 = 90° – 5, 4 = 90° – 3, но 3 = 5, поэтому 1 = 4.

4) А1ВВ1 – равнобедренный, тогда ВС = В1С.

5) По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд АС · А1С = ВС · В1С.

ВС2 = АС · А1С, ВС = .

6) ВС = (см); BB1 = 8(см).