Решение квадратных неравенств. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Системы неравенств - Краткий теоретический справочник

Квадратным неравенством с одной переменной х называют неравенство вида ах² + bх + с > 0, где а, b, с — действительные числа, а ≠ 0.

Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знака неравенства).

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), положительное при всех значениях х, и сохранить знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), отрицательное при всех значениях х, и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Квадратный трёхчлен ах² + bх + с с отрицательным дискриминантом при всех значениях х имеет знак старшего коэффициента а.

Модуль вещественного аргумента

Основные свойства модуля.

Решением неравенства |x| < b являются значения х, удовлетворяющие неравенству —b < х < b.

Решением неравенства |x| > b являются значения х, удовлетворяющие совокупности неравенств

Некоторые методы решения уравнений и неравенств, содержащих модуль:

1) Общий метод. Разобьём числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Решаем неравенства на каждом из полученных промежутков.

2) Метод возведения в квадрат. |f(x)| = g(х) равносильно системе

3) Метод замены. . Замена: