Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии - Краткий теоретический справочник

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обычно обозначают буквой d.

1. Если a_n есть n-й член, d — разность и S_n — сумма n первых членов арифметической прогрессии, то

Арифметическая прогрессия возрастает, если d > 0, и убывает, если d < 0.

2. Если а_k, a_l, a_m, a_n — члены арифметической прогрессии с такими номерами, что k + l = m + n, то a_k + а_l = a_m + а_n.

3. Каждый член арифметической прогрессии, отличный от первого и последнего, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначают буквой q.

1. Если b_n есть n-й член, q — знаменатель и S_n — сумма п первых членов геометрической прогрессии, то

2. Если b_k, b_l, b_m, b_n — члены геометрической прогрессии с такими номерами, что k + l = m + n, то b_k ∙ b_l = b_m ∙ b_n.

3. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, отличного от первого и последнего, равен произведению соседних с ним членов:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия бесконечно убывающая, если |g| < 1.

Если S есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, то