Геометрическая прогрессия - Последовательности и прогрессии - Повышенный уровень - Сборник задач

2.4. Последовательности и прогрессии

2.4.2. Геометрическая прогрессия

292. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии b_n = 16 ∙ (—0,5)ⁿ зачеркнули все члены, имеющие чётные номера. Найдите сумму оставшихся членов.

293. Сумма первого, третьего и четвёртого членов геометрической прогрессии с положительным знаменателем равна 279, а сумма третьего, пятого и шестого членов этой прогрессии равна 31. Найдите восьмой член данной прогрессии.

294. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 9, а сумма следующих трёх её членов равна —72. Найдите восьмой член этой прогрессии.

295. Найдите сумму 10 первых членов возрастающей геометрической прогрессии, если третий её член больше второго на 6, а пятый больше третьего на 36.

296. Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если пятый её член больше третьего на 8, а девятый больше третьего на 728.

297. Положительные числа х₁, х₂, x₃, x₄ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. При этом x₁ и x₂ — корни уравнения х² — 12х + а = 0; x₃ и x₄ — корни уравнения х²— 3x + b = 0. Найдите а и b.

298. Три числа образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, наименьшее утроить, а наибольшее оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель такой геометрической прогрессии?

299. Три числа образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если среднее из них увеличить в 5 раз, наименьшее удвоить, а наибольшее оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель такой геометрической прогрессии?

300. Три положительных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если наибольшее из них уменьшить втрое, а два других оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель такой геометрической прогрессии.

301. Три положительных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если наименьшее из них уменьшить втрое, наибольшее уменьшить вдвое, а среднее оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель такой геометрической прогрессии.

302. Три числа, сумма которых равна 18, образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если первое число увеличить на 1, второе — на 2, а третье — на 7, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

303. Три числа, сумма которых равна 33, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Если первое число оставить без изменения, второе число уменьшить на 3, а третье — на 2, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

304. Три положительных числа образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если первое из них уменьшить в 1,5 раза, а второе и третье оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель данной геометрической прогрессии.

305. Три положительных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если среднее из них увеличить в 1,5 раза, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

306. При каком целом значении х последовательность х, х + 2, 5х — 2 является геометрической прогрессией?

307. При каком целом значении х последовательность —х, х + 1, х — 5 является геометрической прогрессией?

308. Три различных числа а, b и с образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Числа a + b, b + c, c + a образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

309. Три различных числа а, b и с образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Числа с + a, а + b, b + с образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

310. Три положительных числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения q.

311. Первый, второй и четвёртый члены возрастающей арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию. Найдите её знаменатель.

312. Квадраты первого, второго и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии, все члены которой положительны, образуют геометрическую прогрессию. Найдите её знаменатель.

313. Три числа, сумма которых равна 28, образуют геометрическую прогрессию. Если первое число увеличить на 1, второе число — на 2, а третье уменьшить на 1, то получится возрастающая арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.

314. Три числа, сумма которых равна 21, образуют геометрическую прогрессию. Если первое и второе числа увеличить на 1, а третье уменьшить на 2, то получится убывающая арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.

315. Три положительных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если последнее из них уменьшить в 5 раз, а первые два оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

316. Три положительных числа образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если от последнего из них оставить 80%, а первые два числа не изменять, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

317. Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b₂ = 4, b₅ = 12, b₈ = 32?

318. Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b₁ = 1 — √2, v₄ = 4 - 2√2, b₆ = 8 - 4√2?

319. Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b₁ = —7, b₄ = 21√3, b₆ = 63√3?

320. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии b_n, если b₂ — b₄ = 3 и b₁ — b₃ = 6.

321. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии b_n, если b₂ + b₄ = 20/3 и b₁ + b₃ = 20.

322. Найдите сумму первых трёх членов геометрической прогрессии, в которой b₃ = —18, b₆ = 486.

323. Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, в которой b₄ = —32, b₉ = 1024.

324. Является ли число 1/81 членом геометрической прогрессии 3; 1; ...?

325. Является ли число 64 членом геометрической прогрессии 0,5; 1; ...?

326. Три положительных числа b₁, b₂, b₃ образуют геометрическую прогрессию. Их сумма равна 21, а сумма обратных им величин равна 7/12. Найдите b₂.

327. Три положительных числа b₁, b₂, b₃ образуют геометрическую прогрессию. Их сумма равна 14, а сумма обратных им величин равна 7/8. Найдите b₁ ∙ b₂ ∙ b₃.