Окружность, хорда, касательная, секущая - Геометрия - Повышенный уровень - Сборник задач

2.8. Геометрия

2.8.6. Окружность, хорда, касательная, секущая

668. Докажите, что треугольники АВК и CDK подобны (см. рис. 248).

Рис. 248

669. Докажите, что треугольники АОВ и ОВС равны (см. рис. 249).

Рис. 249

670. Окружности радиусов 13 и 20 пересекаются в двух точках, расстояние между которыми равно 24. Найдите расстояние между радиусами, проведёнными к общей касательной этих окружностей.

671. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 9 и 17. Найдите диаметр этой окружности, если расстояние между серединами хорд равно 5.

672. Центры двух окружностей находятся на расстоянии √80. Радиусы окружностей равны 4 и 8. Найдите длину общей касательной.

673. К окружности проведена касательная АВ (В — точка касания). Прямая АС пересекает окружность в точках С и D. Найдите AD, если АС = 1, АВ = √3.

674. К окружности проведена касательная АВ (В — точка касания). Прямая AM проходит через центр окружности и пересекает ее в точках М и N. Найдите квадрат расстояния от точки В до прямой AN, если AM = 1, AB = √3.

675. В окружности радиуса 17,5 проведены диаметр АВ, хорды АС и СВ, перпендикуляр CD к диаметру АВ. Найдите сумму длин хорд АС и СВ, если АС : AD = 5 : 3.

676. Из точки, данной на окружности, проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Отрезок, соединяющий их середины, равен 6. Найдите радиус окружности.

677. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других его сторон на отрезки, равные 2 и 23. Найдите радиус окружности.