Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Как развивалось представление о числе

На ранних ступенях развития че­ловечества представление о чи­сле у людей складывалось из счета различных предметов — пло­дов, деревьев, людей, животных, изделий и пр. В то время человек приобрел понятие натурального числа. Вначале он знакомился с небольшими числами. Расшире­ние запаса чисел шло медленно. Довольно долго люди знали счет только до двух. Затем счет посте­пенно распространился до семи, и это число казалось очень боль­шим, что подтверждается многи­ми пословицами и поговорками, сохранившимися до наших дней: «Семеро (т. е. большое число лю­дей) одного не ждут» или «Один с сошкой (с сохой) — семеро с лож­кой» и др.

Затем люди овладели счетом в пределах трех-четырех десятков.

В то время у многих народов чи­сло 40 выглядело как предел сче­та, оно служило названием не­определенно большого числа. С тех пор, например, слово сороко­ножка мы понимаем как «многоножка». Выражение сорок сороков употребляли, чтобы сказать, что это число предметов невоз­можно назвать. Позже таким чи­слом у славян стало тьма — де­сять тысяч, а потом тьма-тьму­щая.

При счете множества предме­тов единица являлась наимень­шим числом, при этом необходи­мости делить единицу на части не возникало. Но когда люди научи­лись измерять различные величи­ны — длину, массу, время и т. д., то у них довольно часто при изме­рениях получались излишки (остатки), в которых единица ме­ры не укладывалась. Чтобы точ­нее производить измерения, по­явилась необходимость делить, или ломать, единицу. Возникла потребность в дробях. Дроби бы­ли открыты значительно раньше того, как люди поняли, что нату­ральный ряд чисел бесконечен.

Дроби получались в результате не только измерений, но и деле­ния. Используя только целые чи­сла, во многих случаях деление нельзя было выполнить. Когда же люди познакомились с дробями, стало возможным разделить лю­бое натуральное число на другое, кроме 0. Однако долгое время ма­тематики не считали дроби числа­ми. Их принимали как особые зна­ки, и только. Дробь определяли как собрание нескольких равных частей или долей единицы. Зна­менитый греческий математик Евклид (IV в. до н. э.), разъясняя, что надо понимать под числом, указывал: «Число есть множество единиц». Это определение числа математики признавали за наиболее верное до XVIII в. Нуль и дроби по этому определению к чи­слам не относились. Нуль в то время определяли как «ничто», так как 1 — 1 = 0 и 2 — 2 = 0 и т. д., т. е. в результате не было ничего.

Только во второй половине XVIII в. великий английский мате­матик Исаак Ньютон ввел новое определение числа. Он сказал: «Число есть отношение одной ве­личины к другой того же рода, принятой за единицу». Иначе го­воря, число стали рассматривать как результат сравнения любой величины с единицей измерения той же величины. Например: чи­сло получалось от сравнения, во сколько раз длина данного отрез­ка больше или меньше меры, при­нятой за единицу длины. Подоб­ное сравнение можно получить при делении значения одной ве­личины на значение другой вели­чины того же рода. По этому опре­делению дробь заняла вполне определенное положение среди других чисел.

Полноправным числом стали рассматривать и единицу, кото­рая, как и другие числа, могла быть выражена дробью, напри­мер, в виде:

и т. д. Нуль все еще понимался как знак «ничто». Лишь значительно позже его признали числом, от прибавления или вычитания которого резуль­тат не менялся, а при умножении на нуль произведение преобразо­вывалось в нуль.

Расширение понятия числа на этом не остановилось. Трудами ученых-математиков это понятие продолжало развиваться и обога­щаться.

Упражнения и задачи

1. Найдите значение дробей, записан­ных единичными дробями: 1/2 1/8 1/4; 1/3 1/5; 1/2 1/3 1/7; 1/2 1/5 1/6.

Ответ:

2. Следующие дроби запишите суммой единичных (основных) дробей, например: 5/8 = 1/84 - 4/8 = 1/8 + ½ : 3/8; 5/6; 3/14; 4/9.

Ответ:

3. В одной задаче из папируса Ахмеса требуется разделить 8 хлебов между 10 лицами. В ответе дано (в современной за­писи) 8 : 10 = 2/3 + 1/10 + 1/30. Проверьте ответ.

4. Разделить 10 на две части, разность которых 5 (задача Бахаэддина — иран­ского ученого XVI в.).

Ответ:

Локоть (525 мм) — измерительный прибор, применявшийся в Древнем Египте.