Поурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год

Контрольная работа № 1 по теме Числовые и алгебраические выражения. Тождественные преобразования выражений - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ - ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.

Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Общая характеристика контрольной работы

Контрольная работа составлена в шести вариантах (варианты 1,2 — самые простые, варианты 3, 4 — средней сложности, варианты 5, 6 — самые сложные). Степень сложности меняется не слишком резко, поэтому можно рекомендовать следующий критерий оценки: при выполнении вариантов 1, 2 оценка “3” ставится за любые три решенные задачи, оценка “4” — за четыре задачи и оценка “5” — за пять задач. Одна задача дает учащимся некоторую свободу выбора. При тех же критериях оценки за решение задач вариантов 3, 4 к набранным баллам добавляются дополнительно 0,5 балла, за решение задач вариантов 5, 6 — дополнительно 1 балл (т. е. оценка “5” выставляется уже за четыре задачи). Все задачи в варианте примерно равноценны. Возможно, несколько труднее для учеников задачи 5, 6.

Перед проведением контрольной работы учащихся целесообразно ознакомить с критериями оценки и разной сложностью вариантов. Выбор вариантов может быть осуществлен учителем или предоставлен ученикам (в этом случае предполагается наличие копировальной техники в школе и избыточное количество заданий). При наличии такой техники в классе на стенде (после контрольной) может быть вывешено решение всех задач шести вариантов.

Контрольная работа рассчитана на один урок.

III. Контрольная работа

Вариант 1

1. Найдите значение выражения

2. Вычислите значения выражений a – 3 ∙ b и 2 ∙ a - b при а = 6 и b = -5 и сравните их.

3. Петя купил 5 тетрадей по а руб. и 3 альбома по b руб. Составьте выражение для стоимости покупки. Найдите стоимость покупки при а = 10,3 и b = 16,8.

4. Укажите допустимые значения переменных в выражении и найдите его значение при

5. Определите знак выражения

6. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения

2. Вычислите значения выражений 2 ∙ а – 3 ∙ b и 3 ∙ а - b при a = 8 и b = -3 и сравните их.

3. Оля купила 6 тетрадей по а руб. и 4 альбома по b руб. Составьте выражение для стоимости покупки. Найдите стоимость покупки при а = 9,8 и b = 14,4.

4. Укажите допустимые значения переменных в выражении и найдите его значение при а = 1,2 и b = -1/2.

5. Определите знак выражения

6. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных нечетных чисел делится на 3.

Вариант 3

1. Найдите 40% числа

2. Вычислите значения выражений при a = 5 и b + с = 3 и сравните их.

3. Поезд ехал 2 ч со скоростью v₁ км/ч, затем сделал трехчасовую остановку и ехал еще 3 ч со скоростью v₂ км/ч. Составьте выражение для средней скорости поезда. Найдите среднюю скорость при v₁ = 50 и v₂ = 60 км/ч.

4. В выражении укажите допустимые значения переменных и найдите его значение при а = 2/3 и b = 1/2.

5. При каких натуральных значениях переменной я значение выражения отрицательно?

6. Одно число при делении на 8 дает остаток 3, другое число при делении на 4 дает остаток 1. Докажите, что сумма этих чисел делится на 4.

Вариант 4

1. Найдите 25% числа

2. Вычислите значения выражений при a = 1 и b + с = 2 и сравните их.

3. Поезд ехал 3 ч со скоростью v₁ км/ч, затем сделал трехчасовую остановку и ехал еще 4 ч со скоростью v₂ км/ч. Составьте выражение для средней скорости поезда. Найдите среднюю скорость при v₁ = 40 и v₂ = 60 км/ч.

4. В выражении укажите допустимые значения переменных и найдите его значение при а = 1/2 и b = 4/3.

5. При каких натуральных значениях переменной а значение выражения положительно?

6. Одно число при делении на 10 дает остаток 3, другое число при делении на 5 дает остаток 2. Докажите, что сумма этих чисел делится на 5.

Вариант 5

1. Представив каждую дробь в виде разности двух дробей, найдите значение выражения

2. Вычислите значения выражений и при a + 2 ∙ с = 3 и b = 4 и сравните их.

3. Катер с собственной скоростью u км/ч движется по реке (скорость течения v км/ч). Катер проплыл 5 ч по течению и 3 ч против течения. Составьте выражение для средней скорости катера. Сравните среднюю и собственную скорости катера.

4. В выражении укажите допустимые значения переменных и найдите его значение при а = -b.

5. При каких натуральных значениях переменной а значение выражения отрицательно?

6. Может ли сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Вариант 6

1. Представив каждую дробь в виде разности двух дробей, найдите значение выражения

2. Вычислите значения выражений и при 3 ∙ a - с = 2 и b = 3 и сравните их.

3. Катер с собственной скоростью u км/ч движется по реке (скорость течения v км/ч). Катер проплыл 3 ч по течению и 5 ч против течения. Составьте выражение для средней скорости катера. Сравните среднюю и собственную скорости катера.

4. В выражении укажите допустимые значения переменных и найдите его значение при а = -b.

5. При каких натуральных значениях а значение выражения положительно?

6. Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть простым числом?

IV. Подведение итогов контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результаты решения. Удобно данные заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

№ задачи	Итоги
№ задачи	+	±	-	Ø
1	5	1	1	1
2
...
6

Обозначения:

+ — число решивших задачу правильно или почти правильно;

± — число решивших задачу со значительными погрешностями;

— — число не решивших задачу;

Ø — число не решавших задачу.

Варианты 1, 2 — 8 учащихся.

2. Типичные ошибки при решении задач.

3. Задачи, вызвавшие наибольшие трудности.

V. Разбор задач (ответы и решения)

Вариант 1

1. 1.

2. Значение первого выражения больше.

3. 5 ∙ а + 3 ∙ b; 101,9 руб.

4. а ≠ -b; 40,5.

5. Знак “плюс”.

6. Доказано.

Вариант 2

1. 1.

2. Значение второго выражения больше.

3. 6 ∙ а + 4 ∙ b; 116,4 руб.

4. а ≠ -2 ∙ b; 31,5.

5. Знак “минус”.

6. Доказано.

Вариант 3

1. 10.

2. Значение второго выражения больше.

3. 35 км/ч.

5. а = 1.

6. Доказано.

Вариант 4

1. 4.

2. Значения выражений равны.

3. 36 км/ч.

5. а = 1.

6. Доказано.

Вариант 5

1. Представим каждую дробь в виде разности двух дробей. Тогда получаем

При этом в сумме сокращаются все слагаемые, кроме первого и последнего.

(Ответ: 99/100.)

2. Преобразуем данные выражения, используя свойства арифметических действий, и найдем их значения при а + 2 ∙ с = 3 и b = 4. Получаем

При данных значениях переменных значение второго выражения больше.

(Ответ: значение второго выражения больше.)

3. По определению средняя скорость движения равна отношению пройденного пути к затраченному времени. За 5 ч движения по течению со скоростью u + v катер проплыл расстояние 5 ∙ (u + v) км, и за 3 ч движения против течения со скоростью u - v он проплыл расстояние 3 ∙ (u - v) км. Всего катер проплыл расстояние На этот путь было затрачено 5 + 3 = 8 (ч). Тогда средняя скорость катера т.е. больше собственной скорости катера.

(Ответ: и + v/4 средняя скорость больше собственной.)

4. Для выражения допустимыми значениями переменных будут такие, при которых знаменатель не равен нулю, т. е. 3 ∙ b² + 2 ∙ а ∙ b ≠ 0, или b ∙ (3 ∙ b + 2 ∙ а) ≠ 0, или b ≠ 0 и 3 ∙ b+ 2 ∙ а ≠ 0 (т. е. а ≠ -3/2 ∙ b). Поэтому данное выражение имеет смысл при всех значениях а и b, удовлетворяющих условиям b ≠ 0 и а ≠ -3/2 ∙ b. Найдем значение выражения при а = -b. Получаем

(Ответ: b ≠ 0 и а ≠ -3/2 ∙ b; -2.)

5. Сначала упростим данное выражение, поочередно раскрывая скобки (начиная с внутренних) и приводя подобные члены. Получаем

Значения этого выражения будут отрицательными при натуральных значениях а = 1, 2, 3.

(Ответ: а = 1, 2, 3.)

6. Пять последовательных натуральных чисел можно записать так: n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4. Их сумма равна: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5 ∙ n + 10. Так как в этой сумме каждое слагаемое кратно 5, то их сумма делится на 5, т. е. число составное. Поэтому сумма пяти последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.

(Ответ: не может.)

Вариант 6

1. Представим каждую дробь в виде разности двух дробей. Тогда получаем

При этом в сумме сокращаются все слагаемые, кроме первого и последнего.

(Ответ: 100/101.)

2. Преобразуем данные выражения, используя свойства арифметических действий, и найдем их значения при 3 ∙ а - c = 2 и b = 3. Получаем

При данных значениях переменных значение первого выражения больше.

(Ответ: значение первого выражения больше.)

3. По определению средняя скорость движения равна отношению пройденного пути к затраченному времени. За 3 ч движения по течению со скоростью u + v катер проплыл расстояние 3 ∙ (u + v) км, и за 5 ч движения против течения со скоростью u — v он проплыл расстояние 5 ∙ (u - v) км. Всего катер проплыл расстояние На этот путь было затрачено 3 + 5 = 8 (ч). Тогда средняя скорость катера т. е. меньше собственной скорости катера.

(Ответ: u – v/4, средняя скорость меньше собственной.)

4. Для выражения допустимыми значениями переменных будут такие, при которых знаменатель не равен нулю, т. е. 4 ∙ b² + 3 ∙ а ∙ b ≠ 0, или b ∙ (4 ∙ b + 3 ∙ а) ≠ 0, или b ≠ 0 и 4 ∙ b+ 3 ∙ а ≠ 0 (т. е. а ≠ -4/3 ∙ b). Поэтому данное выражение имеет смысл при всех значениях а и b, удовлетворяющих условиям b ≠ 0 и а ≠ -4/3 ∙ b. Найдем значение выражения при а = -b. Получаем

(Ответ: b ≠ 0 и а ≠ -4/3 ∙ b; -1.)

Значения этого выражения будут положительными при натуральных значениях а = 1, 2.

(Ответ: а = 1, 2.)

6. Четыре последовательных натуральных числа можно записать так: n, n + 1, n + 2, n + 3. Их сумма: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4 ∙ n + 6. Так как в этой сумме каждое слагаемое кратно 2, то и их сумма делится на 2, т. е. число составное. Поэтому сумма четырех последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.

(Ответ: не может.)

VI. Подведение итогов урока